Frobenius: Über Gruppen des Grades^ oder^)+l. 363 



gelangt man zu diesem Ergebnisse, wenn man den Satz benutzt, dass 

 es in der Reihe \ , 2 , ■■■ p-l stets 4 ip-l) Paare aufeinanderfolgender 

 Nichtreste giebt. 



Das Product von zwei auf einander folgenden Nichtresten (/3-1) 

 /3 = (-/3){-/3 + l) kann für p = 17 nur 5-6 = -4 oder 6 • 7 =; 8 sein. 

 Nach ( I .) und {2 .) ist daher er :e: - 4 oder 8 und entsprechend 2<j{(t + \) :_= 8 

 oder — 4, was nicht zutrifl"t. 



Ist also p ^= iJc + \, so vertauscht R die beiden Cyklen von Q mit 

 einander, und besteht dalier aus Cyklen der Form 



R = (0) 



(.0. 



wo 1' ein bestimmter Nichtrest ist. Da S = RP den Cyklus (0 , 1 , v + 1) 

 enthält und durch S"' in —v verwandelt wird, so ist v + Iee^. Ist 

 A von 0, \,v + \ verschieden, so enthält <S' den Cyklus 



V + \ (v + l)X. + v\ 



(., 



X V + X 



und da Ä durch <S' ' in verwandelt wird, so ist 



K — 1 



(v + QX + i- ^ V , _>'+ ^ 



v + X " X-1 ' ^ X 



Daher lässt «S das Symbol A ungeändert, besteht also aus einem ein- 

 zigen Cyklus (0, 1, v + l). Folglich ist .*ö die alternirende Gruppe des 

 Grades^, und mithin ist p = 5. 



§7- 

 p = Ak+\ 



Der Weg, auf dem in § 2 die Relation (i.) erhalten wurde, lässt 

 sich zur Herleitung eines allgemeineren Satzes benutzen: 



V. 7^/ p eine Primzahl der Form 4/c + 1 , und ist q nicht durch p 

 iheilhar, so kann eine Gruppe der Ordnung pq{p + 1) mir dann p + 1 Unter- 

 gruppen der Ordnung p enthalten^, wenn q durch j{p — \) iheilbar ist. 



Die Ordnung h = j5g(p + l) der Gruppe .*ö enthält p nur in der 

 ersten Potenz. Daher sind je zwei der p + 1 in .S3 enthaltenen Gruppen %^ 

 der Ordnung^) conjugirt, und die mit ^* vertauschbaren Elemente von 

 Ö bilden eine Gruppe %i' der Ordnung pq. Die Ordnung d des grössten 

 gemeinsamen Theilers ID der p + 1 Gruppen *P' ist nicht durch p theil- 

 bar, weil jede von ihnen eine und nur eine Gruppe ^ enthält. Daher 

 ist d ein Divisor von q =^ q'd. 



Ist rf = 1, so lässt sich y> als (zweifech) transitive Gi'uppe von Per- 

 mutationen AtY p + \ Symbole (i.), §1 so darstellen, dass ^ aus den 

 Potenzen der Substitution »1 es; ? + 1 l)esteht. 



