364 Gesaiiinitsit/.ung vom 10. April. 



Alle mit ^ vertauschbaren Substitutionen bilden eine Gruppe der 

 Ordnung jj(p-l), die unter ihnen, die nicht versetzen, sind die p-l 

 Potenzen der Substitution vi = y'£,. Daher ist q ein Theiler von p-l = qr, 

 und die Substitutionen von ^', die nicht versetzen, bilden eine cykli- 

 sche Gruppe Ü der Ordnung q, bestehend aus den Potenzen der Sub- 

 stitution 



Q=^(oo)(0)(l,y,y^•••y/'-^j^ 



die r Cyklen von je q Symbolen enthält. Ü wird von allen Substitu- 

 tionen von j5 gebildet, die und oo ungeändert lassen. Keine Substi- 

 tution von i3 ausser E lässt mehr als zwei Symbole ungeändert. 



Ist q gerade, so enthält Q eine und nur eine Substitution der 

 Ordnung 2, die und co ungeändert lässt, nämlich S = Q^' und ebenso 

 eine und nur eine mit S conjugirte Substitution, die irgend zwei Sym- 

 bole nicht ändert, im Ganzen also |^(p + l) verschiedene, mit S con- 

 jugirte Substitutionen der Ordnung 2. Jede enthält .^(^-l), zusammen 

 enthalten sie }p {p + 1) (p-l) binäre Cyklen. 



Sind R und R' zwei Substitutionen der zweifach transitiven 

 Gruj^pp .s3, die den Cyklus (0,oo) enthalten, so lässt R'R''^ die Sym- 

 bole und CO ungeändert, ist also in enthalten. Umgekehrt kommt 

 in R = RQ' der Cyklus (O.oo) vor. Jeder binäre Cyklus kommt also 

 in q Substitutionen von sj) vor, und folglich enthalten alle Substitu- 

 tionen von sS zusammen \p(p + l)q binäre Cyklen. Diese Anzahl ist 

 also ^ jp{p + \) ip-l), imd daher ist q ^ ^(p-l). Als Divisor von 

 ^-1 ist demnach q =z p-\ oder |(p-l). 



Wird jetzt angenommen, dass p =: ik + l ist, so muss immer q 

 gerade sein. Denn irgend eine in ^ enthaltene Substitution R der 

 Ordnung 2 lässt entweder kein Symbol ungeändert oder zwei. Im 

 ersten Falle besteht R aus .'(/? + l) = 2k + 1 Cyklen, ist demnach un- 

 gerade, und folglich enthält *ö eine invariante Untergruppe <ö' der 

 Ordnung yÄ. Diese Ordnung ist durch p{p + l) theilbar, weil ^' 

 die p + 1 conjugirten Gruppen ^ sämmtlich enthält, und folglich ist 

 q durch 2 theilbar. Im anderen Falle enthält die zweifach transitive 

 Gruppe 5 auch eine Substitution der Ordnung 2, die und co nicht 

 ändert. Diese ist eine Potenz der Substitution Q, und folglich ist 

 deren Ordnung q gerade. 



Ist die Ordnung des grössten gemeinsamen Theilers © der p + \ 



mit ^' conjugirten Gruppen d>l, so lässt sich die Gruppe ^ der 



Ordnung j7^' (p + i) als transitive Gruppe von Permutationen von p -I- 1 

 Symbolen darstellen , und enthält mithin p + 1 Grupjien der Ordnung p. 

 Daher ist q' = p-\ oder |(jp-l), und folglich ist q = q'd ein Vielfaches 

 von l(p-]). Ist q = l{p — i), so ist stets d = l: 



