Frobenius: Über Gruppen des Gi-ades ^j oder^+1. 365 



VI. Ist p eine Primzahl der Form Ak + 1^ so giebt es eine und nur 

 eine Gruppe der Ordnung -,p(p'^—\)j die mehr als eine Untergruppe der 

 Ordnung p enthält. 



Ist q =^-1 und d = \, so ist Sy die Gruppe (3.), § 4. Ist aber 

 d=2, so kann JÖ in das directe Product der Gruppe D und der Gruppe 

 (i.), § 4 zerfallen; oder ^ kann aus den Substitutionen 



(I.) §'~o§ + 6r], r)' = y| + drj, u6-ßy=l 



bestehen. Wahrscheinlich sind damit alle Möglichkeiten erschöpft. 

 Als Folgerung ergiebt sich aus dem Satze V: 



VII. Ist p eine Primzahl der Form 4^ + 1^ ist q <p — \ und nicht 

 gleich | (jo-1)^ so hat eine Gruppe der Ordnung pq (p + l) stets eine in- 

 variante Untergruppe der Ordnung p. 



Dasselbe gilt, wenn q weder durch ^ noch ^ (^ — 1) theilbar ist, 

 und 1 und p + l die einzigen Divisoren der Form np + 1 von q(p + 1) sind. 



^ 8- 

 p = 4k+ 'i. 



Zum Schluss theile ich einige Ergebnisse mit, die icli für den 

 Fall p = ik + 3 über transitive Gruppen § des Grades p + l und der 

 Ordnung (p + l)pq, die p +1 Gruppen ^ der Ordnung p enthalten, ge- 

 funden habe. Ist q gerade, so ist nach dem letzten Paragraphen q = p-l 

 und iö die Gruppe (3.), § 4. Sei also q ungerade. 



Wie Miller, On Several Classes of Simple Group)S, Proc. of the 

 London Math. Soc. vol. 31, gezeigt hat, erzeugen die p + l Grujipen ^ 

 eine einfache Gruppe .s^' der Ordnung {p + l)pq', wo q ein Theiler 



A'on q ist. und sy ist aus der cyklischen Ginippe -.-, der Ordnung -, 



und der Gruppe S>' zusammengesetzt. Eine Ausnahme davon kann 

 aber eintreten, wenn p von der Form 2'"— 1 ist. Dann kann S> eine 

 charakteristische Untergruppe 9t der Ordnung p + l = 2"" haben, die 

 eine elementare Gruppe ist. Dies ergiebt sich aus dem Satze von 

 C. Joedan: 



Jede invariante Untergruppe einer primitiven Gruppe ist transitiv^ 

 mit Ausnahme der Hauptgruppe. 



Denn sei 9{ eine von der Hauptgruppe verschiedene invariante 

 Untergruppe von ö- Ist ihre Ordnung r durch p theilbar, so ent- 

 hält 9t die p + l conjugirten Gruppen ^ und die von ihnen erzeugte 

 Gruppe §'> und mithin ist 5R = .s3'. Sei r nicht durch p theilbar. 

 Da V»' zweifach transitiv ist , so ist 9t transitiv, also r durch p + l 

 theilbar. Die Substitutionen von S3' bez. 9t, die ein Symbol nicht 

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