366 Gesammtsitzuiig vom 10. April. 



ändern, mögen die Gru^ipen ^ bez. @ bilden. Dann ist 'S eine in- 

 variante Untergruppe von Ä. Die Gruppe SX ist transitiv, und weil 

 ilir Grad p eine Primzahl ist, primitiv. Daher ist <B die Hauptgruppe, 

 sonst wäre diese Gruppe transitiv und ihre Ordnung durch p theilbar. 

 Demnach ist r = p + 1. Da ^ + 1 zu pq theilerfremd ist, so i.st dl eine 

 charakteristische Untergruppe A-on y\' und folglich auch eine solche 

 von Ö- 



Eine Substitution P der Ordnung p in .s3 besteht aus einem Cyklus 

 von p Symbolen und ist daher nur mit ihren Potenzen vertauschbar. 

 Ist also R eine Substitution der Ordnung 2 in 9? . so sind die p Sub- 



.stitutionen 



P-'RP^ ().^0, l.-.p-l) 



alle verschieden, und weil P mit *){ vertauschbar ist, alle in 9^ ent- 

 halten. Folglich haben alle Elemente von 9i ausser E die Ordnung 2. 

 Sind R und -S zwei davon, so hat auch RS die Ordnung 2, und 

 mithin ist RS = SR. Dieser Ausnahmefall tritt immer ein, wenn S^ 

 eine im^ariante Untergruppe 9{ der Ordnung p + l hat, z. B. bei den 

 beiden Gruppen (2.), § 4 der Ordnungen (p + \)p und (p + l)jmi. 



Bedeuten jetzt P,Q,R dieselben Substitutionen wie im vorigen 

 Paragraphen, so ist 



R-^Qli = Q", ,1^ izil (mod. ,]). 



Ist also s der grösste gemeinsame Theiler von n + \ und q. und ist / 

 der von n-1 und q, so ist q^si, und s ist zu t theilerfremd. Setzt 

 man dann 



so haben S und T die Ordnungen ^v und /, und es ist 

 R-'SIi=S-\ R-'TR = T, 



und stets und nur dann R~^Q'R= Q~'\ wenn A durch t theilbar ist, 

 und R'^Q'R =^ Q", wenn x, durch s tlieilbar ist. 



In § giebt es s Substitutionen der Ordnung 2, die den Cyklus 

 (0,00) enthalten, R' = RQ', falls K = ta durch t theilbar ist. oder 

 R' = RS'. In der zweifach transitiven Gruppe § enthalten daher alle 

 Substitutionen der Ordnung 2 zusammen y(j9 + l)ps Cyklen, und jede 

 ■^(jo-t-1) Cyklen. Daher ist ps die Anzahl solcher Substitutionen in §• 

 Da S'^RS' = RS""' =^ RS'''^' \Ht, und da JÖ zweifach transitiv ist, so 

 sind je zwei dieser ps Substitutionen conjugirt. Folglich bilden die mit 

 R vertauschbaren Substitutionen von i3 eine Gruppe 9i' der Ordnung 



— = (p + \)t. 

 ps 



