Frobenius: Ülier ünippcii des Grades^; oder ;j+ 1. 367 



Die oben mit g»' bezeichnete eiiifaelie Gruppe niiiss jene ps Sub- 

 stitutionen sämmtlich enthalten, und daher hat für sy der Factor ä 

 von q' = st' denselben Wertli wie für ."ö. 



Eine Substitution der Ordnung p ist nur mit ihren Potenzen ver- 

 tauschbar, ebenso eine Substitution Q", ausser wenn x durch t th eil- 

 bar ist. Dann ist sie ausserdem mit R vertauschbar. Den Cyklus 

 (0, co) enthalten g Substitutionen R' ~ RQ". Von diesen haben .s die 

 Ordnung 2. Eine der übrigen q-s = s(<-l) hat, da R'- = Q("+'''' eine 

 Potenz von T ist, die Ordnung 2f'. wo /' ein Th eiler von t ist. Die 

 zweifacli transitive Gruppe »ö enthält ^ (p + l)p{q-s) verschiedene vSub- 

 stitutionen dieser Art. Sie lassen kein Symbol ungeändert und ent- 

 halten, da ihre t'*'' Potenz alle Symbole versetzt, einen Cyklus der 



Ordnung 2 , .^ , Cyklen der Ordnung 2 / . 



Ausserdem giebt es in y) (p^-l) Substitutionen der Ordnung j:;, 

 die genau ein Symbol ungeändert lassen, ^{p + \)p{q — \) Substitutionen, 

 die genau zwei Symbole ungeändert lassen, und deren Ordnung in q 

 aufgeht. Die übrigen 



{p+\)pq-'j{p + l)p{(]-s)-^{p + l)p{<j-\)-p-+\ = (p + \){p'~l + l) 



Substitutionen versetzen ausser E alle Symbole, müssen, da auch ihre 

 Potenzen alle Symbole versetzen, regulär sein, und dalier gehen ihre 

 Ordnungen in p + 1 auf. 



Ist daher s = \, also n -^ 1 (mod.g'), so enthält ö nicht mehr als 

 p + 1 solche Substitutionen. Zu ihnen gehören die ps = p Substitu- 

 tionen der Ordnung 2 , also ausserdem nur noch die Substitution E. 

 Folglich kann auch ?R.' nicht mehr als p + \ Elemente enthalten, die 

 der Gleichung Ä''"'"' = E genügen, aber auch nicht weniger. Denn 

 da die Ordnung (p + l)t von 9\' durch j9 + 1 th eilbar ist. muss die 

 Anzahl solcher Elemente in di' ein Vielfaches von j) + l sein. Ist also 

 R ein Element der Ordnung 2 in §) so sind alle solche Elemente in 

 9v' enthalten, demnach mit 7? vertauschbar. Daher sind je zwei Ele- 

 mente der Ordnung 2 in S> vertauschbar, und mithin bilden sie eine 

 elementare Gruppe $R der Ordnung p + 1 = 2'", die eine charakteristische 

 Untergruppe von i3 ^^^- So kommen wir wieder auf den schon be- 

 sprochenen Ausnahmefall. Tritt dieser nicht ein, so ist also s>l. 



Jede Substitution von SR' ist mit der Substitution R vertauschbar, 

 die den Cyklus (0, oo) enthält. Jedes Element von 9t', das c» un- 

 geändert lässt, kann daher auch nicht ändern, ist also eine Potenz 

 von Q und weil es mit R vertauschbar ist, eine Potenz von T. Die 

 Gruppe 9t' der Ordnung (^ + 1 ) / und des Grades ^ + 1 enthält t Sub- 

 stitutionen, die 00 nicht ändern, folglich ist sie transitiv. Die ^ Sub- 



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