368 Gesamintsitzung vom 10. April. 



stitutionen T' , die und oo ungeändert lassen, und die t Substitu- 

 tionen RT\ die und oo vertauschen, bilden eine Gruppe 5 der 

 Ordnung 2t. Sei (ol,^) irgend einer der |(^ + 1) binären Cyklen 

 von R. Ist dann U eine Substitution von 9t , die oo in :^ verwandelt, 

 so muss U, weil es mit R vertauschbar ist, in /3 verwandeln. Daher 

 besteht, wenn U'^TU = T' ist, die Gruppe ?7"'3;C/ aus allen Elementen 

 T'^ und RT'^ von $R', die u und ß in sich oder in einander über- 

 führen. Die beiden Gruppen 3; und U'^^U haben nur die Gruppe 

 E+R = 'i^ gemeinsam. 



Die Gruppe -^ hat die Ordnung {(^ + 1)/ und enthält !.(p + [) 



verschiedene conjugirte Gruppen -~ der Oi'dnung t, von denen je 



fR' 

 zwei theilerfremd sind. Folglich enthält ^- eine und nur eine Unter- 



gruppe -^ der Ordnung 2 (p + 1), wie ich in meiner Arbeit Uhe?' avf- 



lösbare Gruppen IV., §4, Sitzungsberichte 1901 gezeigt habe. Ist 

 ferner, in Primfactoren zerlegt, 



\{p+\) = a^b^^c--' ■■■, 



so ist t ein gemeinsamer Divisor von o" — 1, b'^-\, c'^ — \, ■■■. Ist z.B. 

 ^ = 3 (mod. 8), so muss t ^\, also n = —1 (mod. q) sein. 



Demnach giebt es in ^ genau ^ + 1 mit R vertauschbare Elemente, 

 die der Gleichung X'"^^ = E genügen, und diese bilden eine Gruppe Sv 

 der Ordnung p + \. Da jede ihrer Substitutionen ausser E alle Sym- 

 bole versetzt, so ist 9i transitiv, enthält also eine und nur eine Sub- 

 stitution, die das S\Tnbol a. durch /6 ersetzt. Wir haben angenommen, 

 dass !iR nicht eine invariante Untergruppe von .'ö ist (s>l). Dann 

 bilden die mit 5R vertauschbaren Elemente von *ö die Grujjpe ® =; 9^ 

 der Ordnung g = {p + l)t. 



Denn ist g durch p theilbar, so enthält 6) die p + 1 Gruppen ''^* . da 

 die Ordnung von %^' nicht durch p + 1 theilbar ist. Erzeugen diese 

 die Gruj^pe *ö' der Ordnung h' ^ {p + l)pq', so ist 9t eine invariante 

 Untergruppe von Q', also da p + l zu pq' theilerfremd ist, und .sS' eine 

 iuA'ariante Untergruppe von <ö ist, auch eine invariante Untergruppe 

 von iö. 



Ist aber g — (p + l)q', und ist q'>f, so enthält @ eine Sub- 

 stitution S', deren Ordnung s' in s aufgeht, und die zwei Symbole 

 u , /3 ungeändert lässt. 9{ enthält eine und nur eine Substitution R', 

 die 06 in ß überführt. Daher ist S'~^R'S' = R', folglich vertauscht R' 

 die Symbole a, und ß unter einander, enthält also den binären Cyklus 

 (ct,/o). Eine solche Substitution von S^ hat aber die Ordnung 2t', 



