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Über primitive Grruppen des Grades // und der 

 Classe n — \. 



Von G. Frobenius. 



In meiner Arbeit tjher auflösbare Gruppen IV, Sitzungsberichte 1901, 

 habe ich in § 4 folgenden Satz bewiesen: 



I. Ist die Gruppe ® der Ordnung g in der Gruppe § der Ordnung 

 gn entlialten., und können zwei von dem Haupielemente verschiedene Ele- 

 mente von ®^ die in i3 conjugirt sind, nur durch Elemente von ® in 

 einander transformirt werden, so enthält ® eine und nur eine Untergruppe 

 der Ordnung n, gebildet aus allen Elementen von ^, deren Ordnungen in 

 n aufgehen. Ist d ein Theiler von n, der zu dem complementären Theiler 

 relativ prim ist, so ist d ^ l (mod. g). 



Oder anders ausgedrückt: 



IL Enthält eine transitive Gruppe des Grades n keine Substitution, 

 die zwei Symbole imgeändert lässt, ausser der identischen, so bilden die 

 n — l Substitutionen, die alle Symbole versetzen, zusammen mit der iden- 

 tischen Substitution eine charakteristische Untergruppe. 



Die Ermittlung der intransitiven Gruppen, die der nämlichen 

 Bedingung genügen , lässt sich vollständig auf die der transitiven zu- 

 rückführen : 



in. Enthält eine Gruppe § keine Substitution, die zwei Symbole un- 

 geändert lässt, ausser der identischen, so bilden die n- 1 Substitutionen, 

 die alle Symbole versetzen, zusammen mit der identischen Substitution eine 

 charakteristische Untergruppe der Ordnung n. Ist gn die Ordnung der Gruppe 

 ^, so enthält sie n conjugirte Gruppen % der Ordnung g. Eine solche 

 Gruppe ® enthält alle Substitutionen von ^, die ein bestimmtes von n 

 conjugirten Symbolen ungeändert lassen. Jedes der übrigen Symbole aber 

 ist mit gn anderen Symbolen conjugirt und wird durch jede von der iden- 

 tischen verschiedene Substitution von § versetzt. 



Die transitiven Componenten von 5 sind, wenn n > l ist, alle mit 

 § isomorph, haben also die Ordnung gn. Eine von ihnen ist vom Grade 

 n und der Classe n-\. Jede der anderen aber ist eine reguläre Gruppe 

 des Grades gn. 



