45fi Gesanimtsitzmifi- vom LM. April. 



Das Wort isomorph brauche icli stets im strengen Sinne (einfacli 

 isomorph; vergl. auch Math. Ann. Bd. 41, S. 22, wo nach Klein für 

 den weiteren Begriff das Wort homomorph vorgeschlagen wird). 



Sei h die Ordnung und m der Grad einer solchen intransitiven 

 Gruppe §• Symbole, die durch die Substitutionen von Jö in einander 

 übergeführt werden können, nenne ich conjuglrte Symbole (conjugirt 

 in ^). Dann zerfallen die m Symbole in mehrere vSysteme conjugirter 

 Symbole, 11 conjugirte Symbole ot,ß,y,---, n conjugirte Symbole 



^i', ;6', 7', • ■ • , so dass m = n + n' + n" -\ ist. Bilden die Substitutionen 



von ^, die a ungeändert lassen, die Gruppe @„, so sind ®„, 6^3, ©^ ••■ 

 n conjugirte Gruppen der Ordnung g, ®„. , (S^. , ®y. • • ■ n' conjugirte 

 Gruppen der Ordnung ff', u. s. w., und es ist h = gn = g'n' = g"n' -=•■■. 

 Nach der Voraussetzung sind je zwei dieser m Gruppen theilerfremd. 



Seien, falls (/ > 1 ist, A und B = H~^AH zwei von ^verschie- 

 dene Substitutionen von ®„, die in ^3 conjugirt sind. Dann lässt H 

 das Symbol a, ungeändert, gehört also ebenfalls der Grupi^e (S„ an. 

 Denn würde H a in ,S überführen, so würde S a und ,8 ungeändert 

 lassen. 



Nach Satz I enthält folglich ^ eine und nur eine Untergrupi)e ^31 

 der Ordnung n, und diese besteht aus E und allen Elementen von ^, 

 die in keiner der n Gruppen ®„, (§^, ®y, ■■ vorkommen. Ferner ist 

 ?i ^ 1 (mod. g), also n zu g theilerfremd, und wenn d ein Theiler 

 von n ist, der zu dem complementären Theiler relativ prim ist, so 

 ist auch d zr, l (mod. g). 



Jedes Element von ®„, ausser E kommt in keiner der Gruppen 

 ®„ , ®ß , (§^ , • • • vor. Daher ist 5i durch ®„. theilbar, also n durch g'. 



Ebenso wie g und n sind auch g' und n' = — , theilerfremd, imd 



folglich sind es auch g' und ,. Nach Satz I ist daiier g' = 1 (mod. g). 



Ebenso ist aber auch g ^ 1 (mod. g'). Ist also </ > 1 , so ist ^' = 1, 

 ebenso g" =^ 1, u. s. w. , und mithin n' = w" = ■•• = h. 



Die Gruppen ®„. , ®ß. , • • • reducii-en sich alle auf E, mithin ent- 

 halten die g Gruppen ®„ , ©3 , ®., , • ■ • ausser E alle Substitutionen von 

 .^, die genau ein Symbol ungeändert lassen, und 5t enthält ausser E 

 alle Substitutionen von .sS, <lie jedes der 7i Symbole versetzen. 



Jede Substitution .A von ^ besteht aus Theilen AA'A"---, von 

 denen A nur die ?j Symbole a, ß .j,--- versetzt, A' nur die n' Symbole 

 cc', ß',y',-.- u. H. w. Ebenso Hei B = BB'B" ■■■, C = CC'C"---. 

 Dann bilden A, B , C, ■■■ eine transitive Gruppe des Grades n und 

 der Classe n — \, wie sie in Satz II beschrieben ist. Sie ist mit .s3 



