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invarianten Untori;TupiX' D der Tlii'il ]J die u S_\ niholc cc,ß,y,--- 

 ungeändert Hesse. Ausgenommen ist der Fall n = \ , wct A, B, C , •■• 

 alle gleich E sind, also T) = i3 ist- Die Substitutionen A' , B' , €',■■■ 

 bilden eine mit .SS isomorphe transitive Gruppe des Grades und der 

 Ordnung h. also eine reguläre Grupj»'. Jede von ihncm, ausser £", 

 versetzt die A Symbole cc' , ß' , y' . ■ ■ ■ sämmtlich. Nach diesen An- 

 gaben ist es leicht, alle intransitiven Gruppen des Grades m und der 

 Classe m-\ zu construiren, wenn man alle transitiven Gruppen dieser 

 Art kennt. 



§2. 



IV. Eine Gruppe § '^f'" Ordnung gn enthalte n verscMeäene ronju- 

 girte Gruppen ® der Ordnung g, von denen je zwei theilerf7rmd sind, und 

 folglich eine charakteristische Untergruppe 5t der Ordnung n. Sie besitze eine 

 Untergruppe §' der Ordnung g'n, wo g'>i in g und n in n aufgeht. 



Dann enthält §' n' verschiedene conjugirte Gruppen ®' der Ordnung 

 g', von denen je zwei tlieilerfremd sind, und eine charakteristische 9?' der 

 Ordnung n'. Jede Gruppe W ist der grösste gemeinsame Theiler von §' 

 und einer hestirnmtm Gruppe ®. die Gruppe 91' der von §' und 5t. 



Jede Gruppe der Ordnung g' , wodurch ^ theilbar ist, ist in einer 

 und nur einer der n Gruppen ® enthalten. 



Die Anzahl der Elemente von §'» deren Ordnungen iii n auf- 

 gehen, ist ein Vielfaches von n' , also mindestens gleich n . Sie sind 

 alle in 9t enthalten, also auch in dem grössten gemeinsamen Theiler 9t' 

 von 5' und 9t, der eine invariante Untergruppe von .q' ist. Ihre 

 Ordnung ist also nicht kleiner als //', aber auch nicht grösser, weil 

 sie ein gemeinsamer Divisor von g'n und n ist. 



Nun lässt sich § '^Is transitive Gruppe von Permutationen von 

 «Symbolen so dar.stellen, dass die Substitutionen , die ein bestimmtes 

 Symbol nicht ändern, die Gruppe ® bilden. Dann enthält § ausser 

 E nur solche Substitutionen , die alle Symbole versetzen oder alle bis 

 auf eins. Jene bilden mit E die Gruppe 9t. Folglich giebt es in 

 §' n —\ Substitutionen, die jedes Symbol versetzen. Nach Satz III 

 enthält daher i3' ^' conjugirte Gruppen ®' der Ordnung g' . Eine 

 solche Gruppe ®' besteht aus allen Substitutionen von ^^ , die ein 

 bestimmtes Symbol ungeändert lassen, und ist daher in einer der 

 Gruppen ® enthalten. 



§3- 

 Sei r^ die höchste in n aufgehende Potenz der Primzahl r, und 

 sei 9t eine in § und folglich in 9t enthaltene Gruppe der Ordnung 

 r^ . Bihlen die mit 9t vertauschbaren Elemente von 9t eine Gruppe 9t'' 



