458 Gesammtsitziing vom 24. April. 



der Ordnunar n ^= r^s, .so enthält 91, also auch Ö —. =■ — ; ver- 

 - n gn 



schiedene Gruppen der Ordnung r', und mithin bilden die mit 5R 



vertauschbaren Elemente von 5> eine Gruppe §' der Ordnung gn'. 



Diese enthält demnach n der n Gruppen ® und eine charakteristische 



Untergruppe 91' der Ordnung n . 



Ich nehme jetzt an, die transitive Grupjae ^ sei primitiv. Dann 

 ist ® eine maximale Untergruppe von §. Da nun §'> ® ist, so muss 

 §' = Ö sein. Demnach ist 9t eine invariante Untergruppe von §• 

 Jedes Element von ® ist mit 91 vertauschbar. Daher ist ®9t eine in Jö 

 enthaltene Gruppe der Ordnung gr^. Da ©91 > ® ist, so ist ®9t = § 

 also n =: r^ und 9t = 9t. Die invarianten Elemente von 9t, deren 

 Ordnung r ist, bilden eine charakteristische Untergruppe 9t' von 9t. 

 Diese ist folglich eine invariante Untergruppe von JÖ- Dann enthält 

 Ö die Gruppe ®9t' > ® und folglich ist ®9t' = .t), also 9t' = 9t. 

 Demnach ist 9t eine elementare Gruppe. 



V. Eine transitive Gruppe ^ des Grades n und der Classe n-\ kann 

 nur dann primitiv sein^ wenn n eine Totem einer Primzahl und die in i3 

 enthaltene Untergruppe 9t der Ordnung n eine elementare ist. 



Unter dieser Bedingung ist § stets und nur dann primitiVj, wenn 9t 

 eine minimale invariante Untergruppe von § '^^• 



Denn enthält 9t eine Untergruppe 9t', die eine invariante Unter- 

 gruppe von § ist, so enthält § die Gruppe §' = ®9l' > ®. Und 

 enthält ^ eine Gruppe 5'; die < 5» 3t)er > ® ist, so ist ihre Ord- 

 nung h' einTheiler von h ^ gn und ein Vielfaches von g, also h' = gn', 

 wo n' = r" ein Theiler von n ^= r^ ist. Der grösste gemeinsame 

 Theiler von ^' und 9t ist eine Gruppe 9t' der Ordnung n , die eine 

 invariante Untergruppe von §' ist, aber auch von ^. Denn da 9t 

 eine commutative Gruppe ist, so ist 9t' auch mit jedem Elemente von 

 91 vertauschbar. 



Zu diesen Gruppen gehören die von C.Jordan, RecJierches sur les 

 svhstitutions , Liouv. Journ. ser. 11, tome 17, untersuchten zweifach tran- 

 sitiven Gruppen des Grades n und der Ordnung n[n — \). 



Da ferner ?i = n' = 1 (mod. g) ist, so ist unter der gemachten 

 Voraussetzung § sicher primitiv, wenn p der Exponent ist, zu dem 

 r (mod.g») gehört. (Vergl. Über endliche Gruppen, Sitzungsberichte 1895, 

 §6, Satz in.) 



Den obigen Satz beweist Maillet, Des groupes transitifs de substi- 

 tutions de degre N et de classe N—\, BuU. de la Soc. Math, de France, 

 tome 26, falls der Grad » < 401 ist, mit Benutzung von Hülfssätzen, 

 die durch das hier erhaltene allgemeine Resultat meist gegenstands- 

 los werden. 



