Frobenius: Ul)i>r primitive Gruppen des Gradps ;? und der Classe n—\. 459 



§4- 



Mit Hülfe des gewonnenen Ergebnisses lässt sich der Satz VI 

 meiner Arbeit Übe?' auflösbare Gruppen IV so fassen: 



n. Ist p eine Primzahl, n nicht durch p^ aber durch mehrere ver- 

 schiedene Primzahlen theilbar, und ist kein Divisor von n ausser 1 und n 

 congruent 1 {mod.jo)^ so enthält eine Gruppe der Ordnung p^n stets eine 

 invariante Untergruppe der Ordnung p^. 



Denn wenn dies nicht der Fall ist, so enthält eine solche Gruppe § 

 genau n Untergruppen % der Ordnung p^, und ® ist mit keinem Ele- 

 mente von i3 vertauschbar, ausser denen von ®. 



Sind je zwei der n Gruppen % tlieilerfremd, so lässt sich S^ als 

 transitive Gruppe von Permutationen von n Symbolen darstellen und 

 genügt den Bedingungen des Satzes 11. Ferner enthält ^3 keine Gruppe 

 §' der Ordnung ^'^^z', wo 1 < n' < w ist. Denn da ausser 1 kein Di- 

 visor von n' congruent 1 (mod. ^) ist, so wäre ® eine invariante Unter- 

 gruppe von <ö'> wäre also ® mit Elementen von .3 vertauschbar, die 

 nicht in @ enthalten sind. Daher ist ^ primitiv. Dies ist aber nur 

 möglich, wenn n eine Potenz einer Primzahl ist. 



Sind aber nicht je zwei der ?i Gruppen % tlieilerfremd, so ist 

 nach den Entwicklungen Vber endliche Gruppen § 3 der grösste gemein- 

 same Divisor 5) von zwei Gruppen % zugleich der von irgend zwei 



anderen. In der Gruppe ^ sind daher je zwei der n Gruppen -^ 



theilerfremd. Dies ist aber, wie eben gezeigt, nur möglich, wenn n 

 eine Potenz einer Primzahl ist. 



Ist also n durch mehrere verschiedene Primzahlen theilbar, so ist 

 @ eine invariante Untergruppe von $. 



