о СРАВНЕНШ 3-Й СТЕПЕНИ. 141 



гд-Ь а^ одно пзъ т-Ьхъ чпселъ 1, 2, 3 . . . ^^ для которыхъ число 



4 г — 3 а/ 



неквадратичный вычетъ по модулю р. Сл-Ьдовательпо, р'Ьшенхемъ пред- 

 ложеинаго сравнешя будетъ одно изъ чиселъ: -+- й^или — а^; другихъ я^е 

 р'Ьшен!!! на основан1и 1-й леммы наше сравнен1е не допускаетъ. Такимъ 

 образомъ первая часть теоремы Г. Вороного доказана. Что же касается 

 второй части его теоремы, то ея доказательство никакихъ затруднен1й не 

 нредставляетъ. Д-Ьйствительно, пусть 



будетъ одно изъ р-Ьшенхй нашего сравнен1я. Им-йемъ: 



х^ — гх — 8 = (ж — а) (х^ -+- тх ^- п) -*- а^ — га — 8, 



гдЬ т т п цЬлыя числа. Если паше сравиеп!е допускаетъ еще р'Ьшен1е, 

 отличное отъ а, то его найдемъ, р'15шая сравненхе 



х^ -*- тх ч- п ^ О (Мод. р). 



Последнее же сравнен1е, если имЬетъ р-6шен1я, то им-Ьетъ ихъ 2. 

 Сл'Ьдовательно, будетъ им'Ьть мЬсто следующее равенство: 



а;3 — ^х — 8 = {х — а) {х — Ъ) (х — с) -*- р (Ах -+- Б), 



гд']& Ъ, с, Л ж Б ц'Ьлыя числа. 



Такъ какъ дискриминантъ уравнен1я 



х^ — гх — 8 = О, 

 равный 



4^=»— 278^, 



на основанш предыдущаго равенства сравнимъ съ дискриминантомъ урав- 

 нешя 



(х — а) (х — Ъ) {х — с) = О, 

 равнымъ 



{а — Ъ)^{а — сУ {Ь — сУ 



то мы заключаемъ, что въ томъ случа'Ь, когда 



4г''— 278^ 

 не делится на р, менаду числами а, Ъ в с н'Ьтъ равныхъ между собою. 



Фпз.-ЙТат. стр. 141. 5 



