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unmittelbar abgeleitet werden ('); drei andere sind die nemlichen Pro- 

 portionen, nur das dritte gleichartige Element, sei es Seile des Dreiecks 

 oder tbeilende Linie, einem der beiden ersten substituirt. Von den vier 

 übrigen Proportionen sind wiederum zwei ähnliche Gegenstücke zu ein- 

 ander mit Austausch analog liegender Tbeile als gegebener; drei aber sind, 

 wesentlich verschieden unter sich und von den ersten sechs, Folgen der 

 Erweiterung des Lehrsatzes. Ueberhaupt also sind von den zu gebenden 

 je zehn Proportionen sechs wesentlich verschiedener Construction, vier 

 aber als Wiederholungen von vieren der sechs anzusehen. 



Die Art wie wir aus den ersten , durch die geometrische Demon- 

 stration unmittelbar erhaltenen Proportionen, die übrigen finden, bedarf 

 keiner ausführlichen Erörterung. Wir suchen z. B. die Theilung einer 

 innern Linie , wenn uns die der beiden andern innern Linien gegeben 

 ist. So giebt uns der frühere Lehrsatz unmittelbar (-) 



o : p = uf+ v (<°+/) : ue. 



(') Alle Proportionen neinlich, wie sie in dem früher vorgetragenen Lehrsatz direct 

 begründet waren, wo wir y und x nannten, was jetzt e undy, n und m, was jetzt 

 o und p, und v und w, was jetzt u und c genannt ist, waren vollständig diese: 



(na : m (a + b) : na + m (a + b) 

 x : y : x ■+■ y = J „ w : bv - aw : bv 



\_iiv — mw : m (i>-4-w) : t' (n + m) 



Cvx : iv (x+y) : er + iv (x+y) 

 b '. a -+■ b = ' jux : ny — nix : ny 



\jiv — mw : iv (n + m) : n(v + w) 



!x (a + b) : ya : ya + x (a + b) 

 w(a+b) : vb — wa : b(v + w) 

 vx + w (x +y) : vy : (v + iv) (x +y) 

 Ca (x+y) : bx : bx + a (x + y) 

 v '. W : v ■+■ w = J m (x+y) : ny — nix : y (» -4- '«) 



(_/;« + m(a + b) : nb : (n + m) (a + b) 

 Je drei solche sind es, welche sicli in der nunmehrigen, verallgemeinerten Aufstel- 

 lung, unter veränderten Buchstaben, wiederfinden; sie beruhen auf folgenden vier Grund- 

 gleichungen: I. nya = rnx(a-t-b); 11. vbx = wa (x •+■ y) ; llt.vbn=vi>(an-t-am-t-bm); 

 oder w (q-i-b)(n-i-m)=bn(v-t-w); IV. nyv=m(xv-4-jcw-l-yvv); oder m(x-t-y)(y+w)-= 

 yv(n-hm). 



( 2 ) Es ist dies die Uehersetzung der Formel n : m = vx ■+- w (x+y) : vy, wie sie in 

 der vorigen Note hiefs, in die gegenwärtige Bezeichnung. 



