Verallgemeinerung einiger Lehrsätze. 249 



Dimension angenommen wird die Linie im Octaeder aus dem Mittel- 

 punkt nach demjenigen Punkte der Octaederkante gezogen, in welchem 

 die Octaederkante von der neuen (durch den Mittelpunkt des Octaeders 

 gelegten) Dimension geschnitten wird, die gesuchte Gröfse als diese Ein- 

 heit multiplicirt mit einem Coefficienten von der Form ~ + n , "_ f 

 u . s . f. — man vergleiche Fig. 2. — so dafs der Zähler des Bruches allen 

 zu unterscheidenden achtzehn Werthen (') gemeinschaftlich ist, der 

 Nenner aber die Summe der Produkte der Divisoren in den Wer- 

 then der Grunddimensionen, zwischen welchen die gesuchte liegt, der 

 Divisor der ihr zunächst liegenden multiplicirt mit z , der andere mul- 

 tiplicirt mit 1. Die Einheit der neuen Dimension $ aber, ausgedrückt in 

 der Einheit des ganzen Systems, d.i. der Grunddimension selbst, oder 

 die halbe Octaederaxe = l gesetzt, ist 



*=^1 



Daher , wenn man eine jede der gesuchten Grofsen unmittelbar in der 

 Einheit des Systems ausdrücken will, der gemeinschaftlicbe Zähler aller 

 Coefficienten, z -+- l, nur zu vertauschen ist mit yz' 1 -+- l ; die gesuch- 

 ten Werlbe sind also in dieser Einheit " z +t . I -' + ' u. s. f. Indem 



z -+- ii n . z + i 



Bilde selbst aber werden wir , wie bisber , die Coefficienten der neuen 

 Dimensionseinheit als solche, im Zähler mit z -I- l schreiben. 



Wird z = l gesetzt, so haben wir offenbar die mittleren Octaeder- 

 dimensionen selbst , oder die senkrechten auf den Granatoederflächen 

 ; und je zwei Werthe, wie die oben geschriebenen, fah- 



rt : a : oo a 



len zusammen in den Werth — — , d.i. in den, welchen unser frü- 



(') Von den zwölf neuen Dimensionen sind wiederum in sechsen die der geschrie- 

 benen Flache zukommenden Werthe, an den Stellen nemlich , welche innerhalb unsers 

 Dreiecks liegen, nothwendig positiv; ihre negativen sind daher im Bilde ausgeschlossen. 

 In den sechs andern aber kann der geschriebenen Fläche der Werth sowohl in positivem 

 als in negativem Sinne zukommen; daher hat unser Zeichen 6+1.', d.i. achtzehn ver- 

 schiedene Stellen, welche sich auf diese Dimensionen beziehen, zu unterscheiden; und 

 eben soviel wirklich correspondirende Stellen giebt es in demselben. 



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