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Es wird jedoch nöthig sein , von der Richtigkeit der oben ausge- 

 sprochenen Formeln noch besondere Rechenschaft zu geben. 



Es sei also in Fig. 6. Cj = — CA = — a; Cz = — CB = ~ a, 



und jz die Linie, welche einer Fläche a'.-j a\\a in der Ebne CAB 

 zukommt, wenn sie in der auf dieser Ebne in C (als dem Mittelpunkt 

 der Construction) senkrechten Richtung durch einen Punkt geht, der um 

 1« von C absieht, während CA und CB die beiden andern Grunddi- 

 mensionen a, a, folglich AB eine Octaederkante bezeicbnet. Wir fällen 

 das Perpendikel Cp aus C senkrecht auf jz , und verlängern es, bis es 

 die Octaederkante AB in D schneidet; so wird in einer durch CpD und 



die auf CAB in C senkrechte Linie gelegten Ebne die auf a\-ja :-^-a\ 

 senkrechte Richtung liegen; und wenn in Fig. 7. CpD die vorige Linie, 

 OC aber die auf CAB in C senkrechte Grunddimension a ist, so wird 



Op der Durchschnitt von a\-ja\\a mit OCD, OD aber eine von O 



nach D in der Octaederfläche ABO gezogene Linie sein; und das Per- 

 pendikel Ct aus C auf Op, verlängert nach F, als dem Durchschnitt 

 mit OD, wird die auf \ä\-j a :-j-fl| senkrechte Dimension, und CF die 

 Einheil derselben für das Octaeder sein, dessen halbe Axe = OC ist. 



Um zuvörderst den Punkt D, oder das Verhältnifs AD : DB in 

 der durch CpD gelheilten Octaederkante zu kennen, ziehen wir in Fig. 6. 

 aus A die Linie AS parallel mitjrz; sie schneide die Linie CD in /•; 

 so ist CS- = ~CB, oder CS:CB=j'.z; ferner 



Ar : rS = JP : P z = (Cj-y : (Cz.y = -^ : -^ = ** : f 



und nach der Formel a \ b = uf '. »'(<?+/) ist 



AD: DB = Ar . CS : rS . CB = z"'j \f z = z : y = Cj : Cz 



ferner ist nach der Formel o : o + p =f (a+b) : e a + j \a ■+■ b) 



Cr : CD = CS.AB:SB.AD + CS .AB—j (y+z) : (z —j) z +/ (/+ s) = 



also Cr = 7&-t*> CD 



y 2 -t-z 2 



Aber Cp = — Cr = -^ + s „ CZ? 



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