54 Eytelwein 



sehen von der dortigen Bezeichnung, wird es nicht unwichtig seyn, die 

 hierher gehörigen Entwickelungen noch auf einem anderen Wege zu 

 erhalten , von welchem ich mir schmeichle , dafs auf demselhen die ge- 

 suchten Ausdrücke einfach und übersichtlich dargestellt werden. 

 Weil die partiellen DiiFerenzgleichungnn von der Form 



m G,+a. -G r _, + [>. — i G r +c. m - 1 G r _,=f(m i /■) 



am meisten vorkommen, wenn hier f (in ; /■) irgend eine gegebene Funk- 

 zion von in und /• bedeutet und a, b, c willkührliche beständige Koef- 

 fizienten sind, welche auch einzeln = o seyn können, so wird man sich 

 hier vorzüglich auf diese Differenzgleichung beschränken; es wird sich 

 aber sehr leicht übersehen lassen, dafs mit Anwendung des polynomi- 

 schen Lehrsatzes und einer einfachen Bezeichnung der Polynomialkoef- 

 iizienten , die Untersuchung auch leicht auf jede andere gegehene Dif- 

 ferenzgieichung angewendet werden kann. Uehrigens ist hei den von 

 Lagrange untersuchten Differenzgleichungen durchgängig f (m ; /■) =o 

 angenommen, wogegen hier dieser Ausdruck jede beliebige Funkzion von 

 in und /• bezeichnen kann. 



Bei den folgenden Untersuchungen wird zuerst die Entwickclung 

 gebrochener Funkzionen mit zwei veränderlichen x und y auseinander 

 gesetzt und hiernächst bestimmt, wie gegebene Koeffizientengleichungen 

 welche mit den angeführten Diilerenzgleichungen einerlei sind, integrirt 

 werden können. 



Noch ist zu bemerken, dafs liier zur Vereinfachung, Binomial- 

 koeffizienten wie 



(I) «(«-Q(«-2)(«- a ) (»-» + Q durch 



v ' 1.2.3.4 n 



bezeichnet werden. Ferner wird man von einer Reihe 

 P = A -h A t x -h A„ x 2 + A y ol : 3 + -+- A n x" + 



den Koeffizienten A n durch PK n bezeichnen , um dadurch naher 

 anzudeuten, zu welcher Beihe vorkommende Koeffizienten gehören. 

 Man erhält daher auch 



(II) P = PK + PK, ,x + PK„ . x 2 + PK, .x 3 + ... + PK„ . x- -h 



