Ton der Integration der linearen Gleichungen. 67 



/{>",'■) 



■ \J> /('" - h '0 + c f( m - <> '•- ')] 



]+[b 2 f(m-2,r) + 2b c f{m-2,r-i)+ c l f(m - 2, r- 2)] 

 J- [t>'f(»'-\r) + ib 1 c/(m-3, r-i) + ib c*f(m — 3, r-s) + c 3 /(m-3, r-3)] 



± [i m /(o, r) ■+- mb m - 1 cf (o, r— l) + »t, i" 1 -- c 2 f(o, 1—2) + ■+- in, b*— c'f(o, o)] 



Diesen Fall auf die besondere Gleichung 



m G r + b . m ~'G r + c . m -'G r _, = (m -f- 1) /• 

 angewandt, giebt f (m, r) = (m ■+■ 1) /•, daher wird hier 



(;« + 1 ) r 

 l— \_rb + (r — 1) c\ m 



[rb 2 +2 (r-t) b c+ (r-2) c 2 ](m-,) 

 G,= V_ [ r J = + , (;■— 1) 6- c + i 2 (r— 2) 4r ■+■ 3, (r— 3) c 3 ] (m-2) 



[rj 4 + < (;■ — 1) b' c + 4 2 (r — 2) b 2 c 2 + 4 3 (r — 3) Z>c 3 +4, (r — 4) c*] (»1 — 3) 



: [/•//" + /« (r— 1) i m -' c + m, (r— 2) b m ~ 2 c 2 +/«,_, 1 . b" ~' +I c' _ '] . 



Nun ist nach den Eigenschaften der Reihen mit ßinomialkoef- 

 fizienten 



r/> m -+- m (/•— 1) b m ~ l c ■+- m 2 (/• — 2) b m ~ 2 C s ■+■ -f- m, _ , 1 . V " * ' c r ~ ' 



= (/•/' + rc — nie) (b+c) m ~ 



Hierin nach einander 1, 2, 3, k, statt m gesetzt, so erhalt 



man auch 



I-f- ('■/'+ rc — c) . m 

 — (rb -+- rc — 2c) (b ■+■ c) (m— l)J 

 .+. (,-Z, -+- /-c — 3c) (i -+- c)- (m — 2)1 

 + (ri + rf-rac)(i + c)"-'. 1. 



Die vorstehende in Klammern befindliche arithmetische Reihe 

 der zweiten Ordnung, könnte zwar auch summirt werden, weil 

 aber dadurch für die Berechnung keine Abkürzung entsieht, so 

 wird solche unverändert beibehalten werden. 



Als Beispiel zur Berechnung sei 



-G, +2 . -'G r + 3 . m -'G,_, =(ro + i) 

 gegeben , so wird hier b = 2 und c = 3 , daher 



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