22 PosELGER über einige merkwürdige Eigenschaßen 



wenn diese Form gilt für eine der vorher gegangenen kleineren Zahlen. Und 

 wirklich gilt sie für /i = (i + i) ; für «=.(; + i) ; u. s. w. 



2. Es folgt hieraus das Theorem von Fermat 

 und, weil ^ mit ^Primzahl, und y ganze Zahl, auch 



3. Werde in der Reihe : 



A'^t A\ A" AT^ jedes Glied durch p dividirt, und es mögen sein 



0, rt, b /, die Quotienten 



1 , a , Q) 1 , die Reste. So ist 



das letzte Glied der Divisionsreihe 



A'-' = pl-\-\ 

 das nächst folgende A"" =.j)lA H- A 



■=plA + pa + « 



A'"^'z=plA'-\- paA -\- ctA z=plA'+paA +paa-\-a^ 

 oder auch =plA'-^ A'^=plA'-\-pb -\- ß. 



Hiernach ist sichtbar, dafs, wenn die obige Reihe fortgesetzt wird von 



^''~' bis ^""'~", dieselben Reste, wie oben, in derselben Folge erscheinen 



müssen. Ein solcher Abschnitt der unbestimmten Reihe von — bis — 



l> p 



heifst : Periode. Eine Periode also kann nicht aus mehr Gliedern bestehen, 

 als /j — 1, von ^^ ' bis ^''~' inbegriffen, weil der Divisionsrest \, sich wenig- 

 stens bei dem Gliede A'"'^ zeigen mufs. Wohl aber kann sie aus weniger 

 Gliedern, als /j — i, bestehen, wenn z.B. ^</^ — i und — r=l = cj. 



Wenden wir dann das vorhin gesagte auf die Reihe an : 



A\ A\ A"-, A' 



so zeigt sich auch diese als eine Periode, welche mit dem Gliede A'*^ wie- 

 derkehrt. Sie ist die möglichst kleinste, wenn der Rest, i, sich nur bei A° 

 UJid bei A' , nicht aber bei den dazwischen fallenden Gliedern, zeigt. Jede 



