periodischer Divisionsreihen. 23 



der ihr folgenden Perioden hat einerlei Glieder-Anzahl, und daraus folgt, 

 dafs jede kleinere Periode in der Reihe von A" bis A" , ein aliquoter Theil 

 einer gröfseren sein, und die Zahl t mit p — i zusammenfallen, oder darin 

 aufgehen müsse. 



In dem Verfolg dieses Aufsatzes wird unter t jederzeit der Exponent 

 der kleinsten Periode verstanden. 



Es folgt auch noch aus den obigen beiden Werthen von A'"*'\ dafs 



c. — ,o - 



imd aTif ähnliche Weise lassen sich unzählige analoge Beziehungen zwischen 

 den Resten imd dem Divisor ermitteln. 



i. Die zwischen die Enden der kleinsten Periode fallenden Piestc sind, 

 jeder von dem andern, verschieden. Denn gäbe es zwei Gliedei', in der 

 Reihe von ^° bis A' , 



A" A" , 



M N, Quotienten 



]x [x , Reste 



so hätten wir 



A'^pN +\x 



A''=^pM+!x 



p 



Mithin schlösse sich die Periode mit dem Gliede A"'" , imd sie wäre nicht 

 die kleinste gegen die Voraussetzung. 



O. Hieraus folgt, dafs wenn die kleinste Periode mit dem Gliede A''~^ 

 endet, in derselben, p — i Reste, die i inbegriffen, sämmtlich von einan- 

 der verschieden, daher sämmtliche Zahlen von i bis ^ — i inbegriffen, er- 

 scheinen müssen. 



6. Aus . 



— ^a ■\ , kommt 



;' P 



A- , . tt.i e • 1 "A , ß ßA .7 yA 7 . ^ 



- — =aA-{ . bei dann = />-! ; =.c-{--^; - — :=aH 



P P p PI' P P P 



U.S.W, so erhalten wir, für die kleinste Divisionsperiode folgende Reihe : 



