26 PosELGEn üher einige merkwürdige Eigenschaften 



Machen wir nun nt=zmt' also pq =.p' q\ so ist einleuchtend, weil p, p' 

 zwei von einander verschiedene Primzahlen an sich sind, dafs cj durch p' 

 und q' durch p theilbar ist. 



Umgekehrt: Sind die Primzahlen p,p', und die Grundzahl A gege- 

 ben, und wir bestimmen « und /«, so, Aa^s ii t = m t' sei, so ist 



7 •' „„> = y- 



Sind zugleich für — , die möglichst kleinsten Verhältnifszahlen —gewählt, so 

 wird auch 



die kleinste Periode der Divisionsreihe sein, deren Divisor ein Produkt ist 

 zweier von einander verschiedener Primzahlen : p, p' . 



Die Beweisführung ändert sich in keinem Stück, wenn t-=.t' ist. 

 Dann aber versteht es sich, dafs m = « = i gesetzt werden mufs. 



Für /; = ^' aber hört der Beweisgrund, woraus die gegenseitige Theil- 

 barkeit der ganzen Zahlen q, q', geschlossen wurde, auf. Das Gesetz also 

 einer Divisionsperiode, wo der Divisor = p" , ist aus einer andern Quelle zu 

 schöpfen inul läfst sich nicht luiter die Regel, welche sich auf Produkte im- 

 gleiclier Primzahlen bezieht, ordnen. Dagegen gilt diese allgemein für jede 



Anzahl der Faktoren eines solchen Produkts. Denn es sei für /^, }> ', p '' der 



Index der Periode := f, t', t" und man mache /i^ = w^' = /7"= , so ist 



A 1 \ A ,1 !■ 1 . j 



- — r ■=iq -\ imd — t. — = 7 H 7, ; es lol^t daraus 



PF ' PP P ' P 



pji'q ^= p" q' , also auch 

 A \ ■, A 1 



PP P ' PP P PP P ' PP P 



S. Suchen wir nun die Eigenschaften der Divisionsreihe, deren Divisor 

 eine Potenz sein möge des zweiten Grades einer Primzahl p. 



Das Glied, womit die kleinste Periode einer solchen Pieihe endigt, sei 



A"' 

 P' 



so ist . =zfl-\ - 



P- ' P- 



