periodischer Divisionsreihen. 27 



Die Reihe aber in (7) für läfst sich so darstellen 



^ ^ P 



^Ll. = l^ + M \i+A'^A"-' + +^''-'"} 



P P ^ 



wenn wir der Kürze wegen setzen 



]M=k+ -^bA'---^aA'-' . 



Dann mirde also für die Division mit jf , werden : 



yl"' _ _i^ M {i + .4'+ A"-h +^'— " } 



p- ~ p- "*■ p 



und es käme dann nur darauf an, dafs das zweite Glied rechts durch p theil- 

 bar, und n die kleinstmögliche hief anzuwendende Zahl wäre, damit die 

 kleinste Periode, wirklich mit dem Gliede '—^- endigte. 



Ginge nun p in il/ auf, so wäre dieser Forderung sofort genügt, imd 

 es müfste dann nur noch n = i gesetzt werden. 



Andern Falles mufs die Summe i -h A' + -h ^'''-"' durch p 



theilbar sein. Sie enthält n Glieder. Ist nun n ungerade, so läfst die 

 Summe sich unter diese Form bringen : 



Es ist aber A' , A^' ^/ '" ~ "", = pq + i. Daher diese Form sich um- 

 wandelt in : _ 



i +pq -\ — '— — • (A'-i- i) , oder auch in 



1 +;>y+ "7''- 2 =/"/ + « 



Es mufs daher « durch p theilbar sein, wenn der obigen Forderung genügt 

 werden soll. 



Ist «gerade, so bekommt die Summe i + ^'h h^'"""' diese Form: 



i+A' {A'+ 1) + A" (A'+ 1) + + ^'-'" (A'-h 1) + ^'"-"', 



inid dieselbe verwandelt sich in : 



i4-^j,y+ AruL (^'_}_i) + ^c-'", mid folgends in 



i-h pq + " ~ ' -2 -{- pq -i- 1 , oder auch in 



n — 2 

 ■2-i-pq-i 2=p(/-i-n. 



woraus also das nämliche fliefst, was in dem zuerst angenommenen Falle galt. 



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