28 PosELGER über einige vierkwürdige Eigensclmßen 



Allgemein also ist die gesuchte kleinste Periode 



A''' 1 



o All • p- ' p \ 



V. Allgemein : 



Aus der Reihe in (7) folgt : 



A"* _ \ M\i-^A*-h +^('-'"} 



und daraus ergiebt sich auf dieselbe Weise, wie vorhin, dafs n ein Vielfaches 

 von ]j^~^ sein müsse, wenn mit --^^— eine Periode endigen soll. 



Die kleinste Periode also der Divisionsreihe, deren Grundzahl ^, tuid 

 deren Divisor irgend eine Potenz einer Primzahl, /j', endet mit dem Gliede 



M 

 Den Fall ausgenommen, wo ^__ ^ cj ist, da dann « = i zu setzen ist. 



10. Oben in (6) ist allgemein gezeigt: 

 dafs in der Divisions-Periode 



A' A- A 



P ' P P 



die Summe der Quotienten ein Vielfaches ist von A — i und die Summe der 

 Reste ein Vielfaches von p, und auf welche Weise der Faolor dieses Viel- 

 fachen zu bestimmen ist. In dem besondern Falle nun, dafs t eine gerade 



Zahl ist, ergiebt sich dieses von selbst. Denn es ist 



t J. 



A' — 1 _ (,/^-l)(yi^+l) _ 



P ~ P ~^ 



t 



imd weil / eine gerade Zahl, so liegt auch A"^ m. der Reihe der Glieder. Da 

 aber A~— i nicht theilbar sein kann durch p, vermöge der Voraussetzung, 

 dafs t der Index ist der kleinsten Periode, so mufs sein 



Jl±_L — 



Addiren wir nun das erste Glieds' der Periode mit demjenigen, welches 

 das (4-? 4- i)ste in der Reihe ist, so ergiebt sich 



f 

 A(A^-l-i) 



