periodischer Divisionsreihen. 29 



Nun sei vi'ie vorhin a der Quotient, et der Rest für — ; ferner /• der Quo- 

 tient, g der Rest für ^ - "*"' , so ist die eben erwähnte Summe 



CC -+■ 



daher nothwendig a + ^ theilbar durch j>, d.h. a + ^^=p, weil «, ^, <ip sind. 

 Ganz auf dieselbe Weise ist sichtbar, dafs jedes Paar der Reste, welclie vor 

 dem ersten Ghede der Reihe und von dem letzten ihrer ersten Hälfte gleich 

 weit abstehen, sich zu p ergänzen, mithin ihre Summe ein -^maligcs Viel- 

 faches ist von j). 



Auch fällt in die Augen, dafs hiermit ganz analog die Quotienten 

 Paarweise genommen sich mit i zu einem Vielfachen der Grundzahl ergänzen. 



11. Setzen wir die Grundzahl ^= lo, so erhalten wir aus (6) 



in' I 



= a io'~^ -i-b. io'"-+ c. io'~'-t- + /. 10 + X-J 



P p 



Es müssen aber, wie aus den dortigen Voraussetzungen: — =rtH — "— ; 



-— — =: ^-4 — — u. s. w. erhellet, die Quotienten a, l/, durchaus kleiner 



sein als lo. Wir können also, sie als blofse Zahlziffern betrachtend, nach 



dem dekadischen System, schreiben : 



lo' , , ., 1 

 - — =: abcd ik-\ • 



und, nach (7), P ^ 



10 " ' . . . .1 



■ • ^ abcd ihabc ika bc ika kabc ..... ik -\ • . 



P P 



VNTlche Reihe von Ziffern aus n mal t Aviedex'kehrenden, d.h. aus /^ Perioden 

 besteht. Es ergicbt sich 



= 0, abcd ika ika kabc. 



P P 



Die Form eines Decinialbruches, dessen Ziffcn-eihen sich immer von neuem 



aus der Gröfse — entwickeln. 



P 



12. Es ist aber auch, nach 6. 

 '-'=b+^ 



P ^ P 



= bA -\- c -h 



1 ^ 



■^ = bJ'-'-i- cJ'-"'+ dA'-'+ + Jk 



