30 Vos-EiiGEB. über einige merkwürdige Eigenschaften 



Eben so : 



-^ = cJ'-'-h dJ'-"-+ eJ'-'+ + ^ß + ^,4-A 



P P 



-^ = dA'-'-\- cA'-"-+ + A'k+A"-a-^Ab^c + :^, 



P P 



woraus erhellet, dafs, wenn ^ nach und nach durch die Reste : i, a, /3... 



der kleinsten Periode multipliciret wird, die Folgeordnung der Produkte 



aA'~^ , La''' , . . . . einen vollständigen Ki-eislauf erleidet. 



13. Hiernach folgt aus (11) 



— = 0, hcd . . . ka hcd . . . kab Aß 4- — ^ 



P ' P 



— = 0, cde . . . ab cde . . . abc ah -\- —^ — - 



P P 



— = o,de. . . . bc de. . . . bcd bc -t- — 



P P 



■ — = o.ah . . . . ik ah . . . ika ik -\ 



P P 



wodui'ch der vollständige innere Kreislauf der Periodenziffern eines Decimal- 



bruchs sich darstellt, bewerkstelligt durch Multiplicalion des Bruches mit 



den Restenziffern der kleinsten Periode. 



14. Wird der Decimalbruch — mit irgend einem Faktor Z, einer gan- 

 zen Zahl, multiplicirt, so erlangt er diese Form 



■ — ::= A, a'V . . . . ik' ah'. . . . i'k' 



P 



wo «', h', . . . . die Ziffern bezeichnen, in welche sich die a, b, . . . . timwan- 

 deln, während jene wie diese, Perioden gleicher Anzahl (/) von Ziffern bil- 

 den; A aber die ganze Zahl, welche durch die Multiplication gewonnen 

 wird, deren Ziffern folglich diesseit des Comma zu schreiben sind. 



Der angehängte Decimalbruch o, ah'. . . . , da er durch fortgesetzte Di- 

 vision mit p entsteht, läfst sich setzen = — , folglich 



L . iJi. 



— = A+ — . 

 P P 



Nun ist 



=ß, bc . . . . k a bc . . . . k a 



P 



