periodischer Divisionsreihen. 3^ 



welches gesclirieben ^yerde : a' + — , folglicli 



I' . 10 j I , jf f j f t ji fii 



z=: c a .... a b c a .... a o 



u. s. w. 



Es erhellet hieraus, dafs der in (13) dargestellte innei-e Kreislauf der Zif- 

 fern, für jeden Faktor L, des Produktes L • — statt findet, yfeun -^ nach 

 und nach mit den Resten |U, v u.s.w. multiplicirt wird. 



15. Wird der Bruch -'^ in einen Decimalbruch verwandelt, so ist für ihn 

 t=:6; die Reihe der Quotienten in ihrer Folge : 0, 7, 6, 9, 2, 3 ; die der 

 Reste : lo, 9, 12, 3, A, 1 ; und wir erhalten 



~ = 0, o:692.i ors 



10 • ^ = 0, "69230 763 



9 • iS- = 0, 69;307 692 



4. ,'3 = 0,307692 307 



Ist nun der Faktor L in (14), </', so müssen auch die Reste jj., v ... kleiner 

 sein, als p. Wenn wir daher den Bruch — mit Z mullipliciren, so werd 

 wir eine bestimmte Anzahl von Resten der Divisionsreihe L erhalu 



cn, 



deren letzter = Z sein wird, nacli dessen Erscheinung die vorhergegangenen 

 in ihrer Ordnung wiederkehren müssen. Nach dem gesagten aber ist es in 

 die Augen fallend, dafs die Anzahl dieser Reste = t (Ind. der kl. Per.) sein, 

 tind dafs sie sowohl von einander, als von denen schon durch einen, aufser 

 ihnen liegenden Faktor L', erhaltenen, verschieden sein müssen. 



Setzen wir also in dem vorliegenden Beispiel von neuem L<.p = 2, 

 so erhallen wir für — '— die Divisionsreste in ihrer Folge : 7,5, 11,6, s, 2. Und 



7 '-i^- = 0,538 161 538 



• 5-^ = 0, 3S-i615 381 



. 2 .-/j = 0, 1538^6 153 



16. Faktoren, welche auf die gezeigte Weise die Ziffern eines perio- 

 dischen Decimalbruches zu einem Kreislauf nöthigen, wollen wir, der Kürze 

 wegen: Umlaufs -Faktoren nennen. Sie liegen, wie in die Augen leuchtet, 

 sämmtlich in der arithmetischen Reihe 1.2.3 .... p — i. Setzen wir, in dem 



