32 PosELGER ü2>e7' einige merhvürdige Eigenschaften 



hier öfters genommenen Sinn, p — i = nt, so bilden die durch Multipli- 

 cation mit verschiedenen Faktoren (<p), bewirkten Umwandhingen ?i ver- 

 schiedene Klassen, zu deren jeder i Unilaufsfaktoren gehören. Dann aber 

 zeigt sich offenbar, dafs, der Decimalbruch werde multiplicirt mit irgend 

 einer beliebigen Zahl Z, der neue Bruch des Produktes, die Mantisse näm- 

 lich (hinter dem Komma beginnend), in einer jener Klassen von Umwand- 

 lungen angctrofl'en werden müsse. Und hieraus folgt wiederum sofort, dafs, 

 wenn p — i = ^ ist, alle Produkte L • - , für jeden beliebigen Faktor Z, 

 nach ihren IManlissen in eine der p — i Umwandlungen gehören müssen, 

 deren Faktoren die Divisionsreste «, /3 . . . . i, welche dann nur eine Klasse 

 periodisclier Decimalbrüche bilden. 



17. Nach (11) ist 



1 7 7 -7 7 7 1 iO-f' 



- — ^o.a l>ca .... i/i aoc ... . i k a . . . . k . . . , -\ 



P P 



die allgemeine Form des periodischen Decimalbruchs, wenn wir die Periode 



so oft si(h wiederholen lassen, als p Einheiten enthält. 



Dividiren wir nun durch /^, so werden die Ziffern der Perioden a....k 



sich in n'li....k' verwandeln, und wir erhalten: 



—r, = u'b'c i'k'x 10"'-^- n'b'c i'k'x io~"'-f- . . . . + a'b'c i'k'x 10"'"' 



P 



(l.lO-'+ 1. 10-- '-f- .... -t- 1 .10"''') cc 

 -I . 



P 



a, ist dann der Piest, welcher nach der Division der ersten Periode a . . . . k, 

 von der letzten Ziffer k übrig bleilit. Dividiren wir das Produkt dessen 

 Faktor a ist, mit io~''' in Zähler und Nenner, so wird dasselbe : 



Cl. )„(/.-!)'_,_ i.io'''-^)'-}- l.K)<''-^''-f- . (- l.io'+ 1) ci 



— — — j 



Der Zähler hat aber diese Form, nach (1) 



(l . (pq+l) + 1 . (pr/'+ 1) -^ +1 (;;r/ ""-"-<- i) + i) a 



mithin: {pq -^-p) a; daher /^ darin aufgeht, wie nach (S) geschehen mufs. 



18. Wir können die Pveste, welche bei fortgesetzter Division des Bruches 



— durch p am Ende jeder Periode « k, erscheinen, Perioden -Reste 



nennen zum Unterschiede der Ziffern -Reste a, ß i. Wie sich aus dem 



Ausdruck für die Summe aller Perioden-Reste, in (17) zeigt, so werden sie, 



