periodischer Divisionsreihen. 33 



jeder durcli a, den Rest der ersten, von links nach rechts gezählt, be- 

 stimmt, und folgen so auf einander: 



a 2iC ?>u {p—\)u 



■■ " ''* ''■'■ 'p'' 1>~' P ' P 



nach welchem letztern p in der Mantisse des Bruches aufgeht, folglich der 

 Rest = ist, und dieselbe Folgereihe der Reste von neuem beginnt. 



Es versteht sich von selbst, dafs insofern 2«, 3« gröfser werden 



als yD, das vielfache von p welches darin steckt, abgezogen werden mufs, um 

 den wahren Periodenrest für sich darzustellen. 



Für — = 0, o:) 09 



ist, wenn ^\K mit h dividiren, a=i9. 



Es giebt also dafür folgende Periodenreste : 



9; 2.9 — 11= 7 ; 3.9 — 2.11=5; A.9 — 3 . 1 1 = 3 ; 5.9 — 4 . 1 1 = i 

 6.9 — -4. 11 ^10-, 7.9 — 6.n = s; 8.9 — 6. 11=: 6; 9.9 — 7.11 =i 



10.9 — S. 11 ^ 2. 



Offenbar gilt es ganz allgemein, dafs der erste inid der letzte, der zweite 

 und der voi^letzte und so weiter fort einander zu /> ergänzen müssen ; daher 

 ihre Summe jederzeit = ° ' '' '/,' ~ , die vielfachen von p inbegriffen. Da p — i 

 jederzeit eine gerade Zahl ist, so leuchtet die vollkommene Analogie ein 

 zwischen dieser Summe der Periodenreste, mid der in (10) dargelegten 

 Summe p -rj~ der Ziffernreste einer einzigen Periode, deren Index ^ l ist. 



Auch ist leicht zu übersehen, dafs die Periodenreste, o inbegriffen, 

 p an der Zahl imd sämmtlich von einander vers^chieden sein, daher in der 

 Reihe o . i . . . . p liegen müssen. 



Es werden foliilich auch stets dieselben in allen Perioden der Brüche 

 -ji für einerlei Primzahl p wieder erscheinen, imd ihre Summe folglich im- 

 mer die nämliche sein. 



19. In den Gründen der Beweisfühiimg in (6) ändert sich nichts wenn 

 wir dort p* statt /> und />'"'; statt t setzen. Dann aber erhalten wir wie- 

 derum die Summe der Quotienten 



rt -h Z- -h -^ k= n {J — i) 



und die Summe der Reste 



1 -H « + /3 -+- 7 -+- + T=:fip'. 



Malhemat. Klasse 1827. E 



