über die Darstelhmg beliebiger Funklionen u. s.iv. ^Z 



Bezeiclinel nun j, eine beliebige, von /• aber unabhängige Funktion von 

 ^, so hat man offenbar, da 



/(j, cA(« + i)±/-)z=/(^, /■) 

 ist, 



j; f{o, :?. (n + 1) ± /) =fj(§, /) ; 

 und dalier 



wo a und Z-, so wie die verscbiedenen , zwischen diesen enthalleneu 

 ^Yerthe, die ffir ^ nach und nach gesetzt gedacht werden, völlig beliebig 

 sind. Hieraus folgt also, dafs die Gleichungen (11) auch für diejenigen 

 Funktionen von /• ihre Gültigkeit haben, welche sich aus den ihnen resp. 

 zu Grunde liegenden, in den Gleichungen (5) bis (10) enthaltenen, Funk- 

 lionen ergeben, indem man diese resp. in eine, von /• unabhängige, Funk- 

 tion von §,j'-, multiplicirt ; darauf^, nach imd nach, eine, an sich be- 

 liebige, Anzahl von, an sich beliebigen, zwischen a und b einschliefslich 

 enthaltenen, bestimmten Werthen beilegt, wodurch aus einer jeden 

 Funktion von ^ luid /• eben so viele besondere Funktionen von /■ ent- 

 stehen ; und endlich die so aus einer und derselben Funktion von ^ und r 

 hervorgehenden in eine algebi'aische Summe zusammenfafst. 



Da mm, insofern mau sich A, nach und nach, alle ganze Werthe 

 von — >o bis -f-co beigelegt denkt, alle reelle Werthe dargestellt wer- 

 den können durch 



2A (n + i) ± r, 



wofern man ;• von o bis 7i ■+- 1 einschliefslich, — diu'ch 



X (:n-i- i) ± r und :?^n ± r 

 aber, wofern man /• von o bis n einschliefslich, als continuirlich ver- 

 änderlich betrachtet: so werden von den verschiedenen Funktionen, 

 sowohl von denjenigen, welche die Gleichungen (5) bis (10) einscliliefs- 

 lich unmittelbar enthalten, als von denjenigen, die aus diesen, auf die 

 vorbeschriebene Weise, abgeleitet werden können, als Funktionen von r 

 betrachtet, alle Werthe bekannt sein, sobald solche nur für r von o bis n 

 und n-l-i resp. eingeschlossen, gegeben sind: dergestalt, dafs es hinrei- 

 chend sein wird, die Betrachtimgen auf solche Werthe für r zu beschrän- 

 ken, welche zwischen diesen Gi-enzen resp. einschliefslich enthalten sind. 



