und der ihm 'venvandten Gattungen. 



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Y\s. V. 



die zwei -und -eingliedrigen Systeme mufs /3' = /3", /3 = gesetzt werden, und 

 für die zwei -und -zweigliedrigen Systeme mufs aufserdem noch a' = a gesetzt 

 werden, wodurch sich die Ausdrücke bedeutend zusammenziehen. 



Diese Formeln gelten nur für die Neigungswintel an denselben Indi- 

 viduen ; in Beziehung auf Zwillingswinkel, d.h. solche Neigungen, die von 

 Flächen, die den beiden Individuen angehören, gebildet werden, wird fol- 

 gende allgemeine Betrachtung zum Ziel führen. Das allgemeine Gesetz der 

 Zwillingsverwachsung ist, dafs beide Individuen symmetrisch in Beziehung 

 auf eine Kvystallfläche stehn. Die Normale dieser Fläche werde mit Z be- 

 zeichnet, und die Normale der beiden Flächen, 

 deren Winkel gesucht wird, mit iJ/und N, wo 

 M dem ersten Individuum angehöre und N 

 dem zweiten Individuum ; es bedeute endlich 

 n die Normale der Fläche im ersten Indivi- 

 chuun, welche die analoge von N im zweiten 

 Individuum ist; die Durchschnitte dieser Nor- 

 malen mit der Fläche einer Kugel beschrieben 

 um einen Punkt, durch welchen die vier Normalen gezogen sind, seien 

 Fig.V. N, n, yV/und Z. Die relative Lage von Z, J/und n ist durch ein In- 

 dividuum bestimmt, die Normale des zweiten Individuums N ist dadurch 

 bestimmt, dafs der gröfste Kreis n Z über Z verlängert wird, so dafs ZN=- 

 Zti — denn die Normalen N und ii liegen symmetrisch gegen Z — also 

 liegen alle drei Normalen N, Z, n in einer Ebene und die Neigungen, die 

 iVund n gegen Z haben, sind gleich, aber entgegengesetzt. Gesucht wird 

 der Zwillingswinkel NM\ aus der Construction ergiebt sich leicht 

 cos MN = -z cos ZM cos Zu — cos n M 



wo ZM, Zu, nM nach dem obigen xVusdruck für Neigungen der Flächen 

 desselben Individuums berechnet werden müssen. 



Wäre MN ein Zwillingswinkel im engern Sinne, d. h. ein solcher, der 

 von zwei analogen Flächen beider Individuen gebildet wäre, so ist 

 ... ^■. •; :.. ^ .V=il/ = «, und also ZiV=Zil/, «il/=0 :.; 



-i: : ■- • >; cos MiV= 2 cos" Z/I/ — 1 = cos 2 Z J/. ;- ; • 



-• ' Wenn die Winkel ZM, ZN . . . . um kleine Gröfsen AZ3/, AZ.V. . . 

 wachsen, so findet zwischen diesen die Relation statt . '_ ;"^J:~ V 



