Fortsetzung der Bemerkungen üLer die Entwicklung 

 beliebiger Functionen in Reihen. 



. Von 



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[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 25. Februar lS3ü.] 



Tor zwei Jahren liatte icli die Ehre, einige Bemerkungen über die allge- 

 meine Entwicklung beliebiger Functionen in Reihen, durch blofs identische 

 Verwandlungen, und zwar über den sogenannten allgemeinenTajlorschen 

 Lehrsatz, so wie über die Grenzen des Werths der Reste dieser Reihen, im 

 vorigen Jahre aber, bei einigen Erörterungen über die Theorie der Poten- 

 zen : Anwendungen der allgemeinen Theorie auf den Fall der Potenzen voi-- 

 zutragen. Es sei mir, wegen der analytischen Wichtigkeit des Gegenstandes, 

 erlaubt, die angefangenen Untersuchungen weiter fortzusetzen und mich die- 

 sesmal mit Bemerkungen über die Entwicklung des besondern Taylorschen 

 Lehrsatzes und mit weiterer LTntersuchung der Anwendung der Theorie auf 

 den Fall der Potenzen zu beschäftigen. 



I. 



Wenn Fx eine beliebige Function von x, und k und a beliebige Ver- 

 änderungen von x bezeichnen, so läfst sich, wie in der voi-hin benannten 

 Abhandlung über die Grenzen des Werths der Reste der allgemeinen Ent- 

 wicklungs- Reihe, blofs durch identische Verwandlungen, ohne irgend etwas 

 vorauszusetzen oder auf dem Wege der Induction zuzugestehen, zeigen, dafs 

 allgemein F{jc-i-/i) durch 



1. F{cc + /,) = Fx + ^^Fjc + ^'^^-"^ A"-Fx+ ^-(^-")(A^-^") ^3^^ 



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k{h-a)...{k-(n-\)c<) ^,p^ 



2 . 3 . . . H rt" 

 kih-u) . . . ( k-na) ( F(x + k) — Fr 



2.3. 



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