30 C n E L L E : Fortsetzimg der Betnerkiingen 



ausgedrückt werden kann, wo A auf a sicli bezieht, also z.B. ^Fx so viel 

 ist, als F{cc + u) — Fx; x und k aber beide als veränderlich betrachtet wer- 

 den, und zwar so, dafs X- nm a abnimmt, wenn x um et wächst. Die- 

 ser Ausdruck ist diejenige Entwickelungs- Reihe welche ich allgemeine 

 Taylorsche Reihe genannt habe, weil dieselbe in der That allgemeiner ist, 

 als die besonders sogenannte Taylorsche Reihe mit Differentialen statt Dif- 

 fei'enzen; denn die letzte enthält die willkührliche Gröfse a nicht mehr, 

 welche vielmehr den bestimmten Werth o bekommen hat. 



Hier entsieht nun eine eigenthümliche Schwierigkeit, wenn man die 

 besondere Taylorsche Reihe aus der allgemeinen ableiten will, welches 

 gleichwohl angehen mufs, da sie nur ein besonderer einzelner Fall der all- 

 gemeinen ist, nemlich derjenige, wenn a = o. Setzt man nemlich in der 

 Reihe (1) « = o, so sind zwar — —, — ^, — ^ etc. genau das was man ge- 

 wöhnlich unter Differential-Coefilcienten versteht, und dwrch. dFx, d'Fx.,., 

 oder auch durch -^-^, -r^. • • , und passender durch — Fx, -^ Fx etc. 

 bezeichnet, auch geht k{k — a) in k" , k, (k — «) (k — 2a) in Ä-' etc. über; aber 

 es erhellet nicht, dafs immer, so weit auch die Reihe fortgesetzt werden 

 mag, die Factoriellen wie k(k — «) . . . (k — na), welche die Coefficienten 

 der Differentiale ausmachen, in Potenzen von k sich verwandeln, selbst bis 

 ins Unendliche, wie es sein müfste ; denn wenn n = co, so folgt nicht dafs 

 k — f2a = k ist, wenn man a = o setzt. Diese Schwierigkeit entsteht dadurch, 

 dafs die besondere Taylorsche Reihe wirklich nicht, gleich der allgemeinen, 

 immer, sondern nur bedingungsweise gilt, nemlich nur für einen Um- 

 fang von Fx, 'innerhalb dessen diese Function continuirlich ist. Um 

 die Schwierigkeit zu heben, ist in der oben erwähnten Abhandlung eine an- 

 dere Ableitung des besondern Taylorschen Satzes gegeben, die, statt den- 

 selben aus dem allgemeinen Satze zu nehmen, zu dem Ursprünge seiner 

 Entwicklung zurückgeht, bei welcher dann z.B. der Differential -Coefficient 

 dFx die Bedetitung : 



2. -^{AFx — ^A'Fx + ^A'Fx...±-^A''Fx) 



bekommt und deren Resultat zugleich die Bedingung anzeigt, unter welcher 

 der besondere Taylorsche Satz Statt findet. Da aber diese Entwicklung für 

 die Elemente zu weitläuftig und schwierig ist und nicht deutlich genug die 

 Gültigkeit der gewöhnlichen Principien und deren Bedingungen anzeigt, so 



