über die Entwickbmg beliebiger Functionen in Reihen. 31 



ist noch eine andere Entwickelungs-Art des besondern Taylorschen Satzes 

 zu wünschen, die die möglichste Einfachheit mit der Beobachtung der Vor- 

 schrift, dafs nichts vorausgesetzt oder inductiv zugegeben werde, verbinde. 

 Eine solche Entwicklung dürfte folgende sein. 



Man setze die identische Gleichung 



und 

 also 



3. F{x + k) = Fx + k ^^"-^^^ - ^" , 



n 



5. F{x + k) = Fx + kfx ; 



so erhält man, wenn man xum« zunehmen und zugleich /(um« abneh- 

 men läfst : 



6. F{x-\-k) = F(x-^a) + (k — a) f{x + a) 



Dieses giebt, wenn man die Gleichungen (5 und 6) von einander abzieht, 



7. o = \Fx + k^fx — af{x + a). 



Läfst man hierin x und k von Neuem, auf die nemliche Weise sich verän- 

 dern, so kommt 



S. = :^F {x + a) + (/c — a)Af(x-t-a) — uJ{x + 2a), 

 und wenn man (7) von (8) abzieht, 



9. = A-Fx-i-kS-fx — 2aAf{x-i-a). 

 Läfst man von Neuem arund k auf die obige Art sich verändern, so erhält man 



10. = A-F{x + a) -h {k — a) A-f{x-{-a) — 2aAf{x + 2a), 

 und wenn man (9) von (10) abzieht: 



11. = A'Fx + kAYx — 3aA''f(x + a). 



