über die Entwicklung beliebiger Functionen in Reihen. 



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2 . 3 



Fx 



d- 



2.3 n 



Fx 



k- 



-^ d" / 



...n ^ V 



F{x-\-k)-Fa: 



) 



und dieses ist die bekannte sogenannte besondere Taylor sc heEntwick- 

 lungs-Formel, aber noch mit dem ergänzenden Ausdrucke des Restes der 

 Reihe. Sie wird, wie man sieht, ohne alle Voraussetzung, lediglich dui'ch 

 identische Verwandlungen und durch sehr leichte Rechmmgen gefunden. 



■«): 



A/jx + a) AVC-v + tt) 



etc. 



Die obigen Bedingungen, dafsy(a:- 

 für a = nicht von fx. -^'^ , — 4^ .... abweichen dürfen, sind wie man 

 sähe diejenigen der Gültigkeit der Reihe. Da in den Gleichungen /(x-^-a) 



drücken, die Glieder linker Hand nichts anders sind als A/jc, — ^^, — 4^.... 

 .... etc. so lassen sie sich auch durch 



15. 



. ^ A-fx AVa; 



A/o; = = 0, — "h— = etc. 



und weil A/jc = a — fx. = a -^ fx, — 4r- := oc — r fx etc. ist, 



auch durch 



16 



d f d- r d^ r 



a — jx-^0, a — ^yx = o, a—^Jx=:0 



etc. 



Hieraus lassen sich ferner Bedingungen des Stattfindens der 



bezeichnen. 



Reihe, auch für die in denselben vorkommenden Differential-Coeffi- 



cienten ableiten. 



Aus der identischen Grundgleichung F (x -i- k) = Fx + kj'x folgt 

 nemlich, wenn man darin wiederholt x + a statt a- und k — u statt k setzt, 

 und jedesmal die ursprüngliche Gleichung von dem Resultat wieder abzieht, 

 wie aus der Eingangs erwähnten, der gegenwärtigen vorhergehenden Ab- 

 handlung zu sehen, (daselbst Gleichung 8.). 



^a/x = AFx +(k—u) Afx 



17. 



[a/x = 



A'A- 



A-Fx 



2« 

 A'Fo- 



+ {k-:a) 



3 a' 



+ (o: — ,5 a) 



A^fx_ 



2« 

 A'/x- 



V 

 Mathe?nat. AhhandL 1830. 



^^ = Tirr H- {k — n a) 



na ' 



A"/:C 



