34 Grelle: Fortsetzung der Bemerkungen 



In diesen Gleichungen (17.), die für jedes beliebige a gelten, ist nun für a = o, 

 zufolge der Bedingungs- Gleichungen (15.), jedesmal das letzte Glied Null 

 und auch die Glieder links sind es, bis auf das der ersten Gleichung afx 

 = a . — f^ '^ , welches Glied aber ebenfalls Null ist, insofern i<'(j: -t- k) 

 oder Fx nicht unendlich grofs sind. Unter dieser Voraussetzung also geben 

 die Gleichungen (17.) : 



.« ^ „ A-Fx A^Fjc ATx . ■ 



1/. AFx=o, = 0) ■ 2 — = 0... — ;;-3^ = 0; 



und da nun für «=o, AFx = a — Fx, = « — ^ Fx .... ist, so folet 



dafs die Differential -Coefficienten der Reihe (1-i.) folgenden Bedingungen 

 unterwoi'fen sind : 



d „ d- „ d^ r-i ^ 



— ■ ±<x = 0, a — - I^x = 0, a — r- I'x = . . . . a 



X X- x' X 



Da alle bisherigen Ausdrücke für jeden beliebigen Werth von x gel- 

 ten, den x + k ausgenommen, für welchenyx = '^'"^""^ IZ^-^^'*' ^^ o^ "^^ 

 folglich keine Function von y" mehr sein würde, so folgt zusammengenom- 

 men aus den Gleichungen (16. und 18.) dafs in der besondern Tay- 

 lorschen Reihe (14.) keiner der Differential-Coefficienten — Fx, 



■^-l Fx ~Fx, desgleichen auch nicht j^ ^(rH-^) -Fx ^^ ^j 



Ausdrucke des Restes, für irgend einen Werth von x, von x bis 

 x-i-k, unendlich grofs sein dürfen, wenn die Reihe Statt finden 

 soll. Auch dürfen in diesem Falle F{x-i-k) und Fx selbst nicht 

 für irgend einen Werth von x unendlich grofs sein. 



Diese Bemerkungee über die Differential-Coefficienten imd den Rest 

 der besonderen Taylorschen Reihe sind für die Anwendung derselben noth- 

 wendig. 



Der obige ergänzende Ausdruck des Restes der Reihe, welchen an- 

 dere Entwicklungs- Arten der Taylorschen Reihe gewöhnlich nicht geben, 

 ist ebenfalls nöthig und nützlich, um die Convergenz der Reihe zu beur- 

 theilen. 



Da jetzt bewiesen, dafs die allgemeine Entwicklungs -Formel (1.) mit 

 Differenzen wirklich in die besondere Taylorsche Formel übergeht, wenn 

 man a = o setzt, unter den so eben aufgeführten Bedingungen : so kann auch 

 nunmehr der für die Grenzen des Werthes der Reste der allcemeinen 



