über die Entwicklung heliebiger Functionen in Reihen. ob 



Entwicklungs- Formel in der oben erwähnten Abhandlung gefundene Satz 

 unmittelbar auf die besondere Taylorsche Reihe angewendet werden, 

 und es folgt nunmehr, diesem Satze gemäfs, dafs der gröfste und der 

 kleinste Werth des ersten Gliedes des Restes, insofern man 

 darin k als unveränderlich betrachtet, Grenzen für den Werth 

 des Restes sind. 



II. 



Eine zweite Bemerkung, die ich mir hier vorzutragen erlauben will, 

 soll einige nähere Erörterung der Bedeutung der Entwicklungs- Ausdrücke, 

 die man durch blofs identische Verwandlungen findet, besonders in Bezie- 

 bung auf ihre Identität und den ergänzenden Ausdruck des Restes zum Ge- 

 stände haben. 



Die allgemeine Entwickhmgs- Formel (1.) giebt, so wie Reihen für 

 jede bestimmte Form von Fx, auch, wie in der zweiten oben erwähnten 

 Abhandlung bemerkt, z. B. den binomischen Lehrsatz; denn wenn 

 Fx = a, so ist \Fx = a-^''—a=a {cC^x) also :\- Fx = a {a" — i)" , 

 A'Fx =z a (a"— ly etc. folglich : 



19. fl' •*-' =:a' + — «'(«"— + —^-;^ rt'K— 1)=. ... 



2.3. 



i.i nn" \ A / 



und wenn man a = i, a -- i = b und x = o setzt, 



20. ^x+by = , + ki>+ '^'r'^ b^-+ ^■(^-')(>^-^) .^3,., 



2 .3 



/c(k-l)....(k-in-Ul^„ 



2 .Z . . . . n 



k (k- 1) . ...(/c- 7i) ^„ ( (( +^r'=°'-*-' — (l-H^-r'^"' ^ 



2.3....« 



/ (<+^)'^'="'-*-' — (l-4-^'r'="' \ 



welches die gewöhnliche Form des binomischen Lehrsatzes, jedoch mit dem 

 ergänzenden Ausdruck des Restes der Reihe ist, die also auf diese Weise 

 blofs durch identische Verwandlungen gefunden wird und auch selbst ohne 



E 2 



