36 Grelle: Fortselzung der Bemerkungen 



die allgemeine Entwicklungs -Reihe dargestellt werden kann, wenn man die 

 Operationen aus welchen dieselbe hervorgeht auf den besondern einzelnen 

 Fall anwendet. 



Obgleich man nun weniger bei der allgemeinen Entwicklungs -For- 

 mel an der Identität des Ausdrucks Anstofs nehmen wird, weil sich diese, 

 insofern sie einigermafsen stark begründet werden soll, immer nur auf mehr 

 oder weniger ähnliche Weise wird darstellen lassen ; so kann es doch bei 

 dem binomischen Satze scheinen, dafs durch die identische Entwicklung 

 eigentlich nichts bestimmtes gefunden werde, weil sich, wenn man den Aus- 

 druck des Restes entwickelt, alle Glieder, bis auf Eines, wieder aufheben und 

 am Ende {i + ly z= {\ -\- by oder ß''*"'=«"^* herauskommt. Es kann also 

 scheinen, dafs die Entwicklung eine blofs willkührliche Verwandlung sei, 

 deren vielleicht noch unzählige andere möglich sind ; und da man nun den 

 binomischen Lehrsatz auch noch auf vielen anderen Wegen, ohne identische 

 Verwandlungen zu entwickeln pllegt, so kann es scheinen, dafs die iden- 

 tische Entwicklung gegen das gewöhnliche Verfahren nicht in Betracht 

 komme. Allein so verhält es sich nicht. Vielmehr können alle andei'cn 

 Entwicklungen auch nichts mehr, und, insofern sie streng sind, nichts 

 anderes geben, als die identische; in der Regel aber geben sie weniger, 

 nemlich nicht den Ausdruck des Restes ; und wenn sie etwa diesen ver- 

 nachlässigen, oder den Rest im Voraus Null setzen, so sind sind sie sogar 

 unvollständig und beziehiuigsweise nicht richtig. Da der binomische Lehr- 

 satz ein so wichtiges Hiilfsmittel für analytische Entwicklungen ist, so dürfte 

 es nicht ohne Interesse sein, diesen Umstand näher zu zeigen, um die auf- 

 gestellte Behauptung zu rechtfertigen. 



Diejenigen gewöhnlichen Entwickinngen des binomischen Lehrsatzes, 

 welche die Form der Reihe mehr oder weniger voraussetzen, und auf 

 der Methode der \uibestimmten Coefllcienten beruhen, nehmen in der Regel 

 den Rest der Picihe stillschweigend im Voraus gleich Null an. Sie passen 

 also nur für die Fälle, wenn dieser Rest wirklich verschwindet; was aber 

 nicht immer der Fall ist. Die gefundene Reihe kann nicht für alle Fälle 

 gelten ; und wenn man wissen will für welche Fälle sie gelte, so mufs der 

 Werth des Restes untersucht werden. Diese Entwicklungen geben also 

 schon nichts mehr als die identische, wohl aber weniger; denn sie ge- 

 ben nicht den ergänzenden Ausdruck des Restes. 



