ühei- die Entwicklung beliebiger Functionen in Reihen. 37 



Insbesondere aber fragt es sich, ob nicht etwa diejenige Entwickhing 

 den Vorzug habe, die, von dem Fall ganzzahliger Exponenten ausgehend, 

 für welchen Fall die Reihe durch Combinationen, oder durch blofse Mul- 

 tiplication gefunden werden kann, aus der Eigenschaft derBinomial- 

 Coefficienten nachzuweisen sucht, dafs eine, als noch unbekannt betrach- 

 tete Function von der Form der Binomial- Reihe, zu ganzzahligen Poten- 

 zen erhoben, den Binomial - Ausdruck für den Fall eines andern ganzzahli- 

 gen Exponenten giebt: woraus denn geschlgssen wird, dafs die unbekannte 

 Function nichts anders als eine Binomial -Potenz mit gebrochenem Expo- 

 nenten sei, und dafs also die Form des Binomial -Ausdrucks auch für ge- 

 brochene Exponenten gelte. Man setzt nemlich z.B. 



21 . fk = i-\-k,b + k„_ b- -t- Ä-3 Z»' 



wo k^ , k„, k^ . . . . die Binomial -Coefficienten für einen beliebigen Expo- 

 nenten k bezeichnen. Man erhebt hierauf yX- durch Multipl ication, 

 z.B. zur «'"Potenz, welches eine Reihe von der Form 



22. {fKy=i+pb + pb' +pb' 



< 2 3 



geben wird, wo p, p, p — der Kürze wegen die Coefficienten von b, b'^ , P — 

 bezeichnen sollen, die aus der wirklichen Multiplicatiou hervorgehen. Nun 

 wird aus der den Binomial- Coefficienten für jeden beliebigen Exponen- 

 ten zukommenden Eigenschaft bewiesen, dafs p, p, p etc. den Binomial- 

 Coefficienten für den Exponenten nk gleich sind, und dafs also 



23. {fky = 1 -+- (nk) , b -^ {nk),b' + (nk), b\ . . . 



ist. Ist also nun k ein Bruch, der n zum Nenner hat, z. B. = -^, so ist 

 nk = ni, und folglich eine ganze Zahl. In diesem Falle aber drückt die 

 Reihe (23.) genau die Potenz (i -hb)" aus; also ist 



24. (fky = (i + by=(i-i-k, b+k,b'+k,b": . . .y 



und hieraus folgt, weil k = ~ , 



° n 



das heifst: es folgt auf diesem Wege dafs die Binomial -Reihe auch für be- 

 liebige gebrochene Exponenten gilt. Durch die Methode der unendlichen 

 Näherung kann man die Folgerung allenfalls auch auf irrationale Exponenten 



