über die Entwicklung beliebiger Functionen in Reihen. 39 



immer nur erst das auf einem Umwege und mit Voraussetzung der Form der 

 Reihe gefunden, was die identische Entwickhing ohne Voraussetzung und 

 direct gieht, ncmlich, dafs die Form der Reihe, ohne Pvücksicht auf den 

 Rest, auch für andere als ganzzahhge Exponenten gilt. Aher man hat viel 

 weniger gefunden, denn es fehlt der geschlossene Ausdruck des Restes. Auch 

 ist man erst his zu gebrochenen Exponenten gelangt, während die iden- 

 tische Entwicklung alle Fälle ohne Ausnahme, selbst die von irrationalen, 

 transcendenten und sogar imaginairen Exponenten, umfafst. Der Mangel des 

 Ausdrucks des Restes ist besonders wesentlich; denn man kann ohne ihn 

 Grenzen für den Werth des Restes nur etwa auf die D'Alambertsche Weise 

 finden, dafs man die Reihe zwischen zwei convergente Reihen einschliefst. 

 Die directe, in der Natur des Gegenstandes selbst liegende Beurlheilung 

 der Grenzen für den Werth des Restes findet, wie aus der oben erwähnten 

 ersten Abhandlung über die Grenzen der Werthe des Restes der allgemeinen 

 Taylorschen Reihe zu sehen, ohne den geschlossenen Ausdruck desselben 

 nicht Statt. 



Es dürfte daher wohl schwerlich eine andere IMethode geben die 

 mehr giebt als die identische. Das was diese giebt ist wesentlich zweierlei: 

 Erstens den Nachweis dafs die Form der Binomial-Reihc für jeden beliebi- 

 gen Exponenten dieselbe ist, imd zweitens einen geschlossenen Ausdruck des 

 Restes, nach welchem allein dessen Werth direct beurtheilt werden kann. 

 Das Erste geben auch mehr oder weniger strenge andere Methoden, nicht 

 aber das Letzte. Nimmt man dazu die äufserste Einfachheit der identischen 

 Entwicklung, die in Rücksicht des unbeschränkten Umfanges des Beweises 

 nicht wohl zu übertreffen sein dürfte, inid dann die unbedingte Strenge des- 

 selben, die eben in der Identität liegt, so dürfte die identische Entwicklung 

 vor den andern wesentlich den Vorzug haben, und auch recht eigentlich 

 und allein für die Elemente sich eignen ; denn selbst die Beurtheilung der 

 Grenzen für den Werth des Restes ist, wenn sie auf die W^eise wie in der 

 vorher erwähnten ersten Abhandlung geschieht, völlig elementar. Es sind 

 also die Bedenken die etwa aus der Identität der Formeln gegen dieselben 

 hergenommen werden könnten, nur scheinbar inid verschwinden bei näherer 

 Erwägung. Man kann in der That beim binomischen Satze gar nicht zu be- 

 weisen verlangen , dafs allgemein z.B. 



