40 , Grelle: Fortsetzung der Bemerkungen u. s.w. 



-29. iy+br=, + kb+ ^^^-') b^+ A(X-0(A-2) ^,^^^^ 



sei, denn dieses ist allgemein wirklich nicht der Fall, und wenn man es 

 also bewiesen zu haben glaubt, so ist der Beweis nothwendig imrichtig. Es 

 kommt immer noch zu der Reihe, so weit sie auch fortgesetzt werden mag, 

 ein Rest /■ hinzu, und dieser Rest ist nicht immer Null, wenn die Reihe 

 ins Unendliche fortgesetzt wird. Es kommt auf die Verhältnisse von b und 

 k an: ob /• Null sei, und diese müssen bei jeder möglichen Entwicklung 

 untersucht werden, eben wie bei der identischen. Dagegen giebt diese die 

 Form der Reihe allgemeiner und leichter, und erleichtert zugleich die Un- 

 tersuchung des Restes. 



Es mögen die gegenwärtigen Bemerkungen mit der Anwendung des 

 Satzes von den Grenzen des Werthes der Reste der allgemeinen Taylor- 

 schen Reihe auf die Binomial -Formel, beschlossen werden. DieBinomial- 

 Formel, so wie sie immittelbar aus dem allgemeinen Taylorschen Entwick- 

 lungs-Ausdrucke hervorgeht, ist zufolge (15.) wenn man a = i unda = i4-Ä 

 setzt und statt des Restes sein erstes Glied schreibt, 



30. (^i + b)'*'={i + by[i-\-k[-\-k„_b-....k„b--\-k^^,b-'^'....] 



Die Grenzen für den Werth des Restes sind also der gröfste und der kleinste 

 Werth von (i + b)' . k^^^ b"^' , in dem Umlange von a: bis x -+- k. Wenn man 

 also JL" ^ setzt, so dafs der Ausdruck in folgenden übergeht: 



31. (i + by = i-i-k,b-^ k„J'. ... + /;•>" + (1 + ^)"=°'A-^^, b"-^'....; 



so sind die Grenzen für den Werth der Summe der auf das Glied k^b" fol- 

 genden Glieder der gröfste und der kleinste Werth von 



32. (i+Z')''=°7-„^,Z.'-*-' 



in dem Umfange von x = o bis x = k. Der Werth dieses Ausdrucks hängt 

 von den verschiedenen Verliältnissen von b und k ab. Zuerst weifs man dafs 

 die Glieder der Reihe nicht anders abnehmen können, und dafs also die 

 Reihe nicht anders convergiren kann, als wenn b zwischen — i und ■+■ i ein- 

 geschlossen ist. Unter dieser Bedingung ist die weitere Beurtheilung des 

 Wei-thes der Grenzen leicht. 



