über Invertirungskörper. 99 
Invertirungs-Octaeder von einander sind wiederum diejenigen, für 
deren Verhältnifse —, —- das des Invertirungs-Octaöders seiner selbst, 
--, das mittlere proportionale ist. 
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Ein Glied des regulären Systems kann das Invertirungs- Octa@der 
seiner selbst nicht sein. Im Gegentheil, wenn wir von viergliedrigen Hälft- 
flächnern (eigentlich Sechstelflächnern) der Sechsmalachtflächner abstrahiren, 
so sind die übrigen viergliedrigen Octa@der, welche im regulären Systeme 
mit eingeschlossen sind, blos solche, deren Verhältnifs s:c eine rationelle 
Vervielfachung entweder des Verhältnisses 1:1 oder 1: Y2 ist. Dagegen sind 
Invertirungs-Octaeder von einander im regulären Systeme gar wohl vorhan- 
den, ja sie treffen sogar mit den einfachsten Gliedern desselben zusammen ; 
und die zwei eben genannten Verhältnisse 1:1 und 1:Y2 geben davon das 
erste Beispiel; denn 
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Allerdings also: das Invertirungs- Octa@der des regulären 
Octaäders ist kein anderes als das des Granatoäders, d.i. das erste 
stumpfere des regulären; und es mufs für das Invertirungs-Octaöder des 
regulären (für welches s:c=1:Y2) nach der obigen Grundgleichung sein 
SP A ER EEE 
wie es bekanntlich für das Octa@der des Granatdodekaeäders der Fall 
ist, dessen Fläche gegen die Axe 45° sich neigt. Bekanntlich beträgt die 
Neigung seiner Flächen in der Endkante 120°, d.i. 150°— 60°, gleich dem 
Complement des ebenen Endspitzenwinkels am regulären Octaeder; umge- 
kehrt, der Neigungswinkel in den Endkanten des letzteren 109°%2816’— 
180° — 70°31’44”—= dem stumpfen ebenen Winkel des Granatdodekaöders, 
d.i. gleich dem Complemente des ebenen Endspitzenwinkels seines Octaeders. 
So wie diese zwei, Invertirungs-Octaöder von einander sind, so sind 
es im regulären Systeme alle, die von ihnen in umgekehrter Richtung gleich 
weit abstehen ; also das erste schärfere des regulären und das erste stumpfere 
des granatoödrischen ; letzteres ist das des Leucitkörpers, oder das zweite 
stumpfere des regulären; nicht minder sind Invertirungs-Octaöder von ein- 
ander das zweite schärfere und das dritte stumpfere des regulären u. s. f. 
Auch dies sind nemlich solche, für deren Verhältnisse £, 2 das des 
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