4 CrELLE: über die Form der numerischen Werthe 
Man setze y=rcos® und g=rsin®d, wo r sowohl als cos $ und 
sin & reell sein sollen, welches geschehen kann, weil z cos ® und rsin $ für 
einerlei und & beliebige reelle Gröfsen ausdrücken können. Man setze also: 
2. @=r(cos$-+isind). 
Da (cos $+’sind) —=cosnP +isinnd ist, so verwandelt sich die 
gegebene Gleichung (1), wenn man in derselben dem unbekannten x den 
vorausgesetzten Werth giebt, in 
3. rcosnd + a,r""'cos (n—1) B + a,r" "cos (n—2) P:«.... ee en. , 
+i(r" sin nd + a,r"”' sin (na—1) + a,r"”* sin (n—2) ®....+ a,_,rsind)=0 
Diese Gleichung zerfällt nothwendig, weil Reelles nicht Imaginairem 
gleich sein kann, in folgende zwei: 
4. r cosnd + a,r""'cos(n—1) dB +a,r"””cos(n—2) P.....:+a,=0, 
und (nachdem mit ir dividirt worden), 
5. ""sinnd-+ta,r” sin (n—1) d.....+4,_,sngo=0. 
Kann nun diesen beiden Gleichungen durch ein- und dieselben 
reellen Werthe von r und cos $ und sin & genug gethan werden, so werden 
diese nemlichen reellen Werthe auch der Gleichung (3), woraus (4 und 5) 
entstanden sind, und folglich der gegebenen Gleichung (1) genug thun, und 
folglich wird x nothwendig die numerische Form r (cos  +isin $) haben, 
wo r und cos®& und sin & reell sind. 
Man dividire die Gleichung (4) mit coszg, und die Gleichung (5) 
mit sind, so erhält man: 
Fr. cos (n—1) $ PR cos (n—2) ar Billing 
; cosnd : cosnp a. 00 ar 
7, gt sin (rn —i) ar sin (n— 2) d ar? sin d Ks 
" sin np E sin np . 7 sinnd "177° 
Die Ordnungszahl z — ı der zweiten Gleichung (7), nach r genom- 
men, ist ungerade, weil z gerade vorausgesetzt wurde. Also giebt es 
für Jedes beliebige reelle sin $ wenigstens Einen reellen Werth von r, 
der dieser Gleichung genug thut. Die Ordnungszahl 2 der ersten Gleichung 
(6), ebenfalls nach r genommen, ist gerade. Also giebt es nur dann noth- 
