6 CrELLE: über die Form der numerischen Werthe 
37... fallen zwischen die unendlichen r der ersten Gleichung für np =; 
und”, 2Zrund-r, <rund Yr u.s.w., und während die » der zwei- 
ten Gleichung unendlich sind, sind die der ersten endlich; nemlich wenn 
in der zweiten Gleichung 
ng =7, 27, I3WTıereoıe 
ist, so sind die zugehörigen r unendlich, hingegen sind in der ersten Glei- 
chung, für dienemlichen Werthe von zo, die zugehörigen Werthe von r 
endlich. Die reellen r sind also nothwendig für einerlei $ in der einen 
Gleichung bald gröfser, bald kleiner als in der andern. Nun aber verändern 
sich die reellen Werthe von r in beiden Gleichungen, wie oben bemerkt, 
von einem Unendlichen bis zum andern, stetig; also müssen nothwendig 
& existiren, zu welchen in beiden Gleichungen ein und dieselben reellen 
r gehören. Also kann beiden Glelchungen (6 und 7) nothwendig durch ein- 
und dieselben $ zugleich ein Genüge geschehen, und folglich existirt wirk- 
lich immer und in allen Fällen ein x von der vorausgesetzten Form (2); das 
heifst: der numerische Werth der Wurzeln jeder beliebigen algebraischen 
Gleichung mit reellen Coöfficienten hat nothwendig die Form p-+g V—1. 
Dieses wäre der verlangte Beweis des Satzes, und man könnte aus 
demselben auch nachweisen, dafs z Wurzeln existiren können, weil so viel 
Wechsel der r in den beiden Gleichungen (6 und 7) von Gröfser zu Kleiner 
Statt finden. Desgleichen foigt aus dem Beweise, dafs die Wurzeln von der 
Form p-++9V— 1, immer Paarweise vorhanden sind; denn der Ausdruck 
p+-gi selbst, dessen Statthaftigkeit bewiesen wird, stellt zwei Ausdrücke 
zugleich vor, nemlich + gi und p — gi, die also jedesmal gleichzeitig mög- 
lich sind. 
In dem Fall, wenn die gegebene Gleichung (1) reelle Wurzeln hat, 
können r und & imaginair sein. Dieses läfst sich am kürzesten an einer qua- 
dratischen Gleichung sehen. Wenn nemlich z.B. &— ax -+b=0 ist, so 
ist bekanntlich @ die Summe der beiden Wurzeln der Gleichung, und 2 ihr 
Product. Setzt man also x =r(cos$Htisind), so ist a=2rcos@ und 
b==r', also r—Vb, und cos9 = =: . Nun hat die Gleichung reelle Wur- 
zeln, wenn db negativ, und im Falle 5 positiv, wenn a’>4d ist. Also sind 
im ersten Falle r und & beide imaginair, im zweiten Falle ist r reell, aber 
cos$>1, und folglich $ imaginair. In den Fällen also, wenn die gegebene 
Gleichung reelle Wurzeln hat, findet die Voraussetzung e—=p tig oder 
