der Wurzeln algebraischer Gleichungen. 7 
x=r(cos$ &isind) mit reellen p und g oder r und & nicht Statt; macht 
man sie dennoch, so fällt die Theilung der Gleichung in einen reellen und 
einen imaginairen Theil, und folglich der ganze übrige Beweis weg. Dieses 
ist wie gehörig, denn die Frage kann nur sein, welche Form der numerische 
Ausdruck der Wurzeln dann haben könne, wenn dieselben nicht reell 
sind. Dieses wird bei der Untersuchung vorausgesetzt. 
Es wird nicht uninteressant sein, den Beweis auch noch auf eine an- 
dere Art, nemlich unmittelbar für die Voraussetzung 2 —=p-+-gi zu geben, 
ohne, wie oben, x durch trigonometrische Linien auszudrücken. 
Man setze für den numerischen Werth von «x: 
11. z=p+giundg=mp, alo e=p(1+mi), 
wo p und g, also auch » und m reell sind. Dadurch verwandelt sich die 
Gleichung (1) in 
12. pP (i+mi) + a,p (( + mi) +a,p” (1+mi)°....+a,=0, 
und es ist leicht zu sehen, dafs die reellen und die imaginairen Theile, in 
welche diese Gleichung, wenn p und g reell sein sollen, nothwendig zer- 
fällt, folgende zwei Gleichungen geben: 
13. pP’ (a+mi” +(—mi)) 
+ a,p'"" (a+ mi)" + (1— mi)'”') 
+ a,p'"”” (a + mi)” + (1 — mi)" ”?) 
. rer Tr 07T Tree 
14. pP (a+mi)” — ((—mi)‘) 
+ a,p'"" (a + mi)" — (1 — mi)'”') 
+ a,p"” (a + mi)? — (1 — mi)’ ””) 
+4a4_.,p.mi= 0. 
In der ersten Gleichung heben sich alle Glieder mit z auf; in der zwei- 
ten haben alle Glieder pmi zum Factor, und können also damit dividirt 
werden. Beide Gleichungen enthalten also nur reell vorausgesetzte Gröfsen. 
Ist es nun möglich, den beiden Gleichungen durch ein- und dieselben reellen 
