Einiges zur Theorie der Potenzen. 15 
Da indessen bei meinem früheren Vortrage manches Einzelne nicht 
allein noch viel Einfacher und klarer sein kann, sondern auch zum Theil 
unvollständig geblieben ist; so kommt es zunächst darauf an, nachzuholen 
und zu verbessern, was nöthig scheint; und hiervon sollen die gegenwärtigen 
Bemerkungen einige Puncte berühren. 
I. Entwicklung der Grundzüge der Theorie der Potenzen, 
mit Rücksicht auf die Vielfachheit der Wurzeln. 
Die allgemeinen Eigenschaften derjenigen Rechnungsformen oder 
Functionen, welchen man den Namen Potenzen giebt, und welche man 
auch auf dem Wege vom Besondern zum Allgemeinen findet, werden durch 
die beiden Gleichungen 
er z+k 
| 
Q 
= 
B 
[e® 
x 
. ada.d 
2» (a’ yr a’ r 
bei welchen blofs der Begriff der Multiplication vorausgesetzt wird, der 
früher zu begründen ist, ausgedrückt. Die Zeichen a’, a* etc. bedeuten 
nicht immer nothwendig wirkliche Gröfsen, sondern im Allgemeinen nur 
Rechnungsformen, die sich nach den Umständen auf existirende Gröfsen be- 
ziehen können. Z.B. schon wenn = — ı und z=-- ist, drückt a” oder 
(— 1)? bekanntlich durchaus keine wirkliche Gröfse mehr, sondern nur eine 
Rechnungsform aus. Man kann sagen: Gröfsen wie a”, und a’ etc., welche 
den durch die Gleichungen (1 und 2) ausgedrückten Rechnungsgesetzen un- 
terworfen sind, sollen Potenzen heifsen. 
Bei der Entwicklung dessen, was aus den Voraussetzungen (1 und 2) 
folgt, habe ich nun früher zunächst die Berücksichtigung der Vielfachheit 
der Wurzeln, das heifst der Vielfachheit der Werthe oder Bedeutungen 
von Zeichen wie a” bei Seite gesetzt, und will nachholen, was dafür aus den 
Voraussetzungen folgt. 
Ob die Zeichen a* und a‘ etc. mehrere Bedeutungen oder Werthe 
haben, mufs sich an dem zeigen, was ihre vorausgesetzten Verbindungen 
ergeben. Finden sich dabei, oder sonst Widersprüche, so wird folgen, dafs 
die Voraussetzungen nicht bestehen können. Finden sich keine Widersprüche, 
so müssen die Voraussetzungen für jeden Werth gleichmäfsig gelten. 
