Einiges zur Theorie der Potenzen. 7 
setzt, a’. a'= oder a’. a=a’ u.s.w., woraus folgt, dafs eine Potenz, 
wenn der Exponent eine ganze Zahl ist, nichts anders ist als ein Producı 
gleicher Factoren. 
Nimmt man in (8) für x und A ganze Zahlen, so dafs £ eine ge- 
brochene Zahl, und a= == die Zte Wurzel von z vorstellt, so folgt aus 
(5), dafs die Wurzel nichts anders als diejenige Gröfse ist, welche, x mal 
mit sich selbst multiplieirt z, A mal mit sich selbst multiplieirt, giebt. 
Ist aber der Exponent einer Potenz weder eine ganze noch eine ge- 
brochene Zahl, so ist sie niemals durch Producte gleicher Factoren dar- 
stellbar. 
Setzt man in der Gleichung (2) statt k, so gieht dieselbe 
()t— a (+2) —a'**. Dieses folgt aus der Gleichung (2) allein. Nach 
der Gleichung (1) aber ist (a) +7 —(a')'. (a*)*, welches nach (2) so viel 
ist als a’. a, und dieses ist nach (1) so viel als a'*". Also geben die Glei- 
chungen (1 und 2) verbunden das nemliche wie (2) allein; mithin kön- 
nen sie für jeden beliebigen Exponenten mit einander bestehen, und wi- 
dersprechen sich nie; wodurch also die Co@xistenz der vorausgeseltzten 
Grundgesetze gerechtfertigt wird. 
Die Gleichungen (3, 4, 5 und 6) werden aus den Grundgleichungen 
(1 und 2) durch blofse Verwandlung gefunden. Die Gleichungen (7, 8 
und 9) hingegen werden gefunden, indem man a’=z setzt, und hierbei 
kommt in Betracht, dafs a* mehr als einen Werth haben kann, was in 
der That der Fall sein kann; denn wenn z.B. x—=— und n eine ganze Zahl 
ist, so hat a’, wie sich aufserdem zeigen läfst, z verschiedene Werthe. 
Wenn nun a” auf solche Weise wirklich mehrere verschiedene Werthe hat, 
so wird offenbar für jeden dieser Werthe gelten, was die Gleichungen 
(7, S und 9) ausdrücken. Aus der Gleichung (9) folgt für diese verschie- 
denen Werthe Nachstehendes. 
Gesetzt nemlich, a und z haben in derselben nur Einen Werth, «‘ 
aber z verschiedene Werthe, wo z nur von dem Exponenten A abhängen 
kann: so wird auch 3°, n verschiedene Werthe haben, desgleichen (a 2)‘. 
Da aber nun in der Gleichung (9) a“ mit 3° multiplieirt werden soll, so wür- 
den sich in dem Producte die z Werthe von a“ mit den » Werthen von =’ 
combiniren, und das Product würde also zn” verschiedene Werthe haben, 
während die ihm gleiche Potenz (a2)' nur r verschiedene Werthe hat. Dieses 
Mathemat. Klasse 1820. C 
