Einiges zur Theorie der Potenzen. 19 
Il. Allgemeiner Beweis des Binomischen Lehrsatzes, ohne 
Voraussetzungen, blofs durch identische Verwandlungen. 
Es giebt bekanntlich eine Menge verschiedener Beweise des Binomi- 
schen Lehrsatzes. Die meisten fangen von dem Falle ganzzahliger positiver 
Exponenten an, für welchen Fall sich der Satz durch blofse Multiplication, 
und etwa durch Combinationen finden läfst. Allein der Übergang zu be- 
liebigen Exponenten hat nothwendig immer die nemlichen Schwierigkeiten, 
die auf solche Weise bei dem Übergange von ganzzahligen zu beliebigen 
Exponenten, bei dem Ausdrucke der Potenzen überhaupt Statt finden; auch 
wird dabei immer dieses oder jenes stillschweigend vorausgesetzt, z. B. 
dafs die Gestalt der Reihe unverändert die nemliche bleibe, und dergleichen. 
Es fehlt also den Beweisen deshalb, und weil sie überhaupt nur Über- 
gänge vom Besondern zum Allgemeinen, und folglich nur eine Art von In- 
duction sind, an Strenge. 
Ich habe deshalb früher versucht, einen strengeren und wirklich 
allgemeinen Beweis zu geben, der es, in so fern dafs er aus der allgemeinen 
Theorie der Potenzen, ohne Übergang vom Besondern zum Allgemeinen 
hervorgeht, wie ich glaube, auch wirklich ist. Bei diesem Beweise wird 
indessen noch die Gestalt der Reihe vorausgesetzt. Dieses mufs freilich 
als erlaubt betrachtet werden, weil eine Voraussetzung, wenn sie auf keine 
Widersprüche führt, als statthaft angesehen werden darf. Es ist das Nem- 
liche, was überall, in der ganzen Analysis, bei der Cartesischen Methode 
der unbestimmten Coöffheienten geschieht. Es ist indessen nicht zu leugnen, 
dafs diese Methode, sobald unendliche Reihen vorkommen, wie es hier der 
Fall ist, ihre Schwierigkeiten hat, wegen der ebenfalls stillschweigend Statt 
findenden Voraussetzung der Convergenz der Reihen. Es wird daher in- 
teressant sein, zu sehen, dafs sich der Beweis in aller Allgemeinheit geben 
läfst, sogar ohne die Gestalt der Reihe vorauszusetzen, blofs 
durch identische Verwandlungen, wodurch dann die letzte Schwierig- 
keit verschwindet. 
Der Binomische Lehrsatz liegt, wie so viele andere, fast unmittel- 
bar in dem allgemeinen Taylorschen Lehrsatze. Diesem Lehrsatze 
zufolge ist nemlich für eine beliebige Function Fix von x: 
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