Einiges zur T’heorie der Potenzen. 21 
welches der Binomische Lehrsatz ist. Da nun die allgemeine Taylorsche 
Reihe (12), wenn man sie auf die Weise, wie z. B. in der Abhandlung: „Über 
die Grenzen für die Werthe der Reste der allgemeinen Entwicklungsreihe 
mit Differenzen”, die ich im vorigen Jahre zu lesen die Ehre hatte, ent- 
wickelt, blofs durch identische Verwandlungen gefunden wird, so läfst sich 
der Binomische Lehrsatz, in der höchsten Allgemeinheit, blofs durch 
solche Verwandlungen, ohne willkührliche Voraussetzungen, selbst ohne die 
Gestalt der Reihe vorauszusetzen, beweisen, und man hat noch den Vor- 
theil obendrein, dafs man den genauen Ausdruck des Restes der Reihe be- 
kommt, den andere Entwicklungen nicht geben. 
In den Elementen, wie sie sind, wird man vielleicht die Entwick- 
lung des allgemeinen Taylorschen Lehrsatzes nicht, wie es bei diesem Be- 
weise sein müfste, dem Binomischen Lehrsatze vorhergehen lassen wollen, 
obgleich eigentlich wohl dieser Satz an der Spitze der Entwicklungen ste- 
hen müfste. In solchem Falle wird die Entwicklung für den besondern 
Fall gemacht werden müssen. Ich will dieselbe hersetzen, weil sich da- 
bei noch deutlicher im Zusammenhange zeigen wird, dafs der Beweis 
wirklich ohne alle Voraussetzungen, blofs durch identische Verwandlungen 
möglich ist. 
Man setze also die identische Gleichung: 
z+ıh__ x 
16. a" =ua rk. I ——, 
und der Kürze wegen: 
also: 
18.2. a" — a E kp. 
Nun lasse man x um « zunehmen, zu gleicher Zeit aber A um « ab- 
nehmen, so dafs &-+%k das Nemliche bleibt; so giebt die Gleichung (18), 
wenn man das, was durch die Veränderung aus p wird, durch p, bezeichnet: 
19. a = at" + (k—a)p.. 
Man ziehe von dieser Gleichung die Gleichung (18) ab, so erhält man: 
