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Noch ist zu bemerken, dafs der Ausdruck (15), so wie er ist, für 
den Fall, dafs (a-+ ı)‘ mehr als einen Werth hat, nur einen dieser ver- 
schiedenen Werthe giebt. Dafs man nicht vollständig alle Werthe fand, 
die (a-+ 1)‘ haben kann, liegt in der identischen Gleichung (16), von wel- 
cher die Entwicklung ausging. Soll dieselbe zugleich die Vielfachheit der 
Werthe der Potenz berücksichtigen, so mufs man, der Bemerkung in (I.) 
zufolge, setzen: 
z+h__ x Li 
30. ar=a.t +. (Ze ——) 
In dieser Gleichung sind rechts und links gleich viele Werthe, und 
das hieraus abgeleitete Resultat mufs also auch vollständig alle Werthe ge- 
ben, die Statt finden können. Es ist leicht zu sehen, dafs, weil man für 
das willkührliche « immer eine ganze Zahl nehmen kann, die dann im Ex- 
ponenten die Zahl der Werthe der Potenz nicht vermehrt, die Verände- 
rung der Gleichung (16) in (30) im Resultat keine weitere Änderung her- 
vorbringt, als dafs alle Glieder rechts, bis auf den Rest, und im Reste die 
Potenz a’, noch mit 1° multiplieirt werden müssen. Der vollständige Bi- 
nomische Ausdruck ist also: 
31. (ta) = ı [1 + Aa ZU a 4 HUN ET 
Are, k(k—1)....(k— (n—1)) «| 
Ze3seseh 
i(k— ol — z(=0o)+A__ z(=0), 4 
LA. 2 & ) (HD er =). 
Dieser Ausdruck ist eigentlich, durch den darin befindlichen Aus- 
druck des Restes, selbst identisch, welches seine Richtigkeit ebenfalls 
aufser Zweifel setzt. Man kann sich davon überzeugen, wenn man den Rest 
für ein beliebiges n entwickelt. Alsdann heben sich rechts alle Glieder bis 
auf (1-+-a)' auf, und man erhält die identische Gleichung (1+a)'= (1-Ha)'. 
Es sei z. B., für den einfachsten Fall, = 1, so geht der Ausdruck 
(31) in folgenden über: 
32. (Ha = ı(ı+ka) + k,k—ı, al 
