Einiges zur Theorie der Potenzen. 25 
Da A sich auf « bezog, «= 1 gesetzt wurde, und 1°" so viel ist als 
1’, so ist 
A 2 (ta) Fr — ((-+a)"=o) * 
A .k—1.A ( r ) 
a: (Ha —(ita)'.* (Ha (ira). 1 
—k.k-ı Ft u 
= k((1+a) — (1+a) 1’) — (k—1) ((+a)' — 1) 
= (1+4) — (ki+a)+k— 1) ı* 
= (1+a) — (ka+1) ı‘. 
Also ist in (32): 
(1+a)' = ı' (1+ka) + (1-+a)' — (1+Aa) 1, oder 
(1-+0) = (1+a)'. 
Das Nämliche läfst sich allgemein für jeden beliebigen Werth von 
n zeigen. 
Es würde gut sein, diesen stringenten Beweis des Binomischen Lehr- 
satzes in die Elemente einzuführen. Die Entwicklung der Logarithmen reiht 
sich unmittelbar an denselben an, und auch diese würde gleiche Evidenz 
erlangen. 
Il. Beispiele von der Berücksichtigung der Vielfachheit der 
Werthe der Potenzen bei den goniometrischen Ausdrücken. 
Man setze in die obige Binomische Formel, die noch das willkühr- 
liche « enthält, also in (13) oder (28), aber vervollständigt durch !, <=, 
so erhält man: 
33 a‘ er 4? | a—1 k(k—«) , (a® — 1)? 
ı-+% + 
[44 
Zedhness n 
f7 a” 
k(k—a)....(k— (n—1) «) er 
k(k—a)....(k—na) A (#773 az -) 
Da nun « ganz willkührlich ist, so setze man es z. B. gleich —, so 
gehen die Factoriellen, wie A(k—a)....(k—ne), für p—=x in Potenzen 
über. Ferner bezeichne man denjenigen Werth von a, für welchen —, 
wenn 2=x, also «= ist, den Werth ı annimmt, durch e (es läfst sich 
zeigen, dafs e die Basis des natürlichen Logarithmen - Systems ist), so ist 
Mathemat. Klasse 1529. D 
