Einiges zur Theorie der Potenzen. 27 
Man setze auch in (39) m (@-+2nr) statt &-+2nr, so erhält man: 
AI NER ZITROTRNT 0 ME FIR EIS mat 2nF)) 
Die Gleichungen (40) und (41) verglichen, geben: 
42. (cos (a-+2nr) Hisin (ce +2n7))” = cos m (x<-+2nr7) Hisinm (c-+-2n7). 
Es läfst sich aber aus andern Gründen zeigen, dafs 
da fe (x-+2n7) = cos x und 
sin (x -+2nr) = sin x, 
also ist vermöge (42): 
44. (cosx +isinx)”—= cos m (ec +2n7) +isinm (e-+2nr). 
In dieser Gleichung können auf beiden Seiten mehrere Werthe Statt 
finden, und ihre Zahl ist nothwendig beiderseits gleich. 
Nun ist für c—=0, cosxz=ıundsinxz= 0, also giebt die Gleichung 
(44) für 2=0: 
45. 1"= cos 2mnr Kisin 2mnr, 
also auch, da 2 jeden beliebigen Werth haben kann, wenn man m =-+ix 
und m = — ix setzt: 
16 Fe = 0085 2inır tisin 2inır 
177 =.608 222n 27 7.2 sn 2iner; 
also ist in (37) vollständig: 
47 ne = (cos2inxr Kisinzinxr) (cosx-+isin x), 
le" = (cos2in«r Fisin 2zinzr) (cos x —isin «). 
Dieses giebt, wenn man multiplicirt, 
48 IS = 008 2inxr c08 & + 1 cos 2inar sin » Eisin 2inxr cos x F sin 2inxr sin x, 
Us 
e='* = 008 2inxr cos © — I cos 2inar sin © Fisin 2inxr cos & 7 sin 2inxr Sin; 
also: 
e"+e”—= 2 cos 2inar cosx TE 2 sin 2inxrsinx und 
er” — e" = 2 cos 2inxr sin x & sin 2inxr cos x, 
oder: 
er ee” = 200sa (ini) 
44. 
Fe _—e”" = 2asin x (2inrtı) 
und dieses sind die vollständigen Ausdrücke von e*" te”. Sie gehen 
D2 
